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A. Rubinowicz.

Die Definition des Hadamardschen Operationssymbols läßt sich auchleicht auf den Fall mehrfacher Integrale erweitern: Es sei Teine n-dimensio-nale Mannigfaltigkeit, deren Punkte durch die rechtwinkligen, kartesischenKoordinaten x 1 ,x 2 ,...,x n bezeichnet werden mögen und die abgesehenvon anderen auch durch die Fläche

r (x 1 , x. 3 , ..xj = 0begrenzt wird. Unter dem endlichen Teile

(9)

jj ix% dXt ... ix¡

T

des über das Gebiet T erstreckten Integrals

JJ JA (r 11 _^__, dx ^ dx ^

T

wird dann folgendes verstanden: Sind A, , A.,, ..X n _ 1 , r krummlinige Ko-ordinaten und

dx 1 dx 2 ... dx n = K-dk 1 dl.... dA n _ 1 dF,so ist der Ausdruck (9) gleich

JJ

11-1

Es läßt sich somit, wie dies ja aus ( 7) unmittelbar folgt, der Ausdruck (9)als der Grenzwert der Differenz eines w-fachen und eines (n — l)-fachenIntegrals auffassen.

V. Die zu unserem Randwertproblem gehörige Fundamentallösung.

Hadamard 11 ) gewinnt die Lösung des Cauchyschen Problems mit Hilfeder Fundamentallösung der partiellen Differentialgleichung, die zur gegebenenadjungiert ist. Unsere Differentialgleichung (Wellengleichung) □ u = 0 istnun mit der zu ihr adjungierten Differentialgleichung identisch. Um hierdas Cauchysche Problem zu lösen, wird man also die zur ursprünglichgegebenen Wellengleichung □ u — 0 gehörige Fundamentallösung zu bildenhaben. Diese wird nun, falls x, y , t die Spitze und x , y, t einen Punkt imInnern des charakteristischen Kegels

r o= — (z — #) 2 — {y— y)"" + {t — t)"" — 0

") J. Hadamard, 1. c.