Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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bezeichnet liür solche Punkte x,y,t ist F 0 > 0), dargestellt durch dieFunktion:

1 _ . 1

\r 0 \-(x-x)*-(y-yf + (t-t) 3

Um die Funktion w(r,cp,t; r,<p,t\ %), die die obige Fundamental-lösung in unserem Randwertproblem ersetzt, bequem definieren zu können,wollen wir zunächst die zu ihr gehörigen charakteristischen Kegel angeben.Dabei legen wir die Punkte in dem der Riemannschen Fläche ^ ent-sprechenden Riemannschen Räume R x durch die Zylinderkoordinaten r,cp,tfest, wie wir es im Abschnitt III getan haben. Um die Lösung unseresProblems gleich in einer entsprechenden Form zu erhalten, wollen wir da-bei w so definieren, daß schon die im Bereiche 0 <r, aufder Fläche liegenden Anfangs werte der Funktionen u 1 und u., (die imfolgenden beide einfach mit u bezeichnet werden sollen) zur Herstellungder Lösung genügen. Dies bedingt, wie man aus dem folgenden sieht,daß w in bezug auf die Veränderliche cp periodisch mit der Periode 2 %ist und daher der charakteristische Kegel jT 0 in R x in unendlich vielenExemplaren auftritt.

Um nun die charakteristischen Kegel anzugeben, fassen wir in Reinen Punkt ins Auge, der die Koordinaten x, y , t besitzen möge. Dieentsprechenden Zylinderkoordinaten seien r, <p, t. Errichten wir nun inR x mit diesem Punkt als Spitze einen zur Differentialgleichung □w=0gehörigen charakteristischen Kegel F 0 = 0, so lautet seine Gleichung:

(10) r„ = - (x — x) s - (y — 2/) a + (i — Í) 2

— — r" — f' 3 + 2 r r- cos (<p — cp) + (t — i) 2 = 0

(— 71 < ÇJ — Cp < + Jl).

Dabei ist der den Variabilitätsbereich der Veränderlichen cp beschränkendeZusatz ganz besonders zu beachten. Durch die Gleichung P 0 = 0 alleinwürde nämlich eine unendliche Anzahl solcher Kegel (10) dargestellt werden,deren Spitzen in R x in den Punkten f, ~cp + Zvn, t gelegen sind. Der Zu-satz besagt aber, daß die beiden Geraden:

cp — cp - r ti, r o = 0 und cp = <p — n, r 0 — 0

eine Begrenzung der Kegelfläche r o — 0 bilden, mithin _T 0 durch die Ver-zweigungsgerade r = 0 sozusagen aufgeschnitten wird, wie wir es uns schonbeim Beweise des Eindeutigkeitssatzes vorgestellt haben.

Errichten wir nun in R x weitere ebensolche charakteristische Kegelauch in den Punkten:

r,y + 2vx,t, (v — 0, ±1, + 2, + 3,...)von denen jeder durch eine um die Verzweigungsgerade, um den ent-