Wellengleichung auf Riemannschen Flachen.

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1*. Die Funktion w ist in allen Punkten des Raumes R x eindeutigdefiniert, die einer der beiden Bedingungen:

a) r„> 0 und — n y — oder b) r* 0

genügen, d. h. in allen Punkten von R x , die innerhalb eines Kegels r v oderinnerhalb des Kegels F* gelegen sind. Dieser Raum soll R* heißen.

2*. In R* ist w überall endlich. In den Kegelflächen JT,. = 0 wird wwie —}== unendlich. Ferner ist w, abgesehen von den charakteristischen

Kegeln r v und r*, überall stetig und besitzt außerhalb der genanntenStellen und der Verzweigungsgeraden r = 0 stetige partielle Ableitungenbeliebiger Ordnung nach r,cp,t. In der Verzweigungsgeraden sind w und

endlich und wird hier höchstens so unendlich, daß lim r ~ = 0

St dr r—0 8r

wird.

3*. Abgesehen von diesen singulären Stellen genügt ferner die Funk-tion w in allen Punkten von R* der Differentialgleichung:

8'w 8~w . d'w _

□ ^eee — 2 = 0.

dx 2 dy* g t 2

4*. w ist schließlich in bezug auf die Veränderliche 9? periodisch mitder Periode 2%.

Zur Herstellung der Funktion w könnte man sich nun vollständiganaloger Betrachtungen bedienen, wie sie etwa Sommerfeld 13 ) in der Theorieder Beugung benützt. Auf einem solchen Wege gelangt man zum folgen-den Resultat: Wir behaupten: w ist der Realteil der durch das nach-stehende Integral dargestellten Funktion:

(13) W(r,<p,t;r,y,t;x)

2 x J y_ r3 _ ? 2

d

Ci

! + 2 r r cos {cp — a) + ( t — i) ' i -<* i-<p(0¡+üJ e X —e X

Der Integrationsweg (Z7 X + ?7 3 ) ist dabei in der komplexen «-Ebeneüber die Schleifen (Í7 X ) und (U. 2 ) zu erstrecken, wobei ([7J z. B. voncp n co i -\- i co bis cp — n -f- <y„ + i 00 und ( U. 2 ) von — n — co a — i 00bis cp -f- 71 — u> i — ¿00 läuft. In den obigen Integrationsgrenzen ist dabeifür die reellen Konstanten co v eine der Ungleichung 0 co v ent-sprechende Wahl zu treffen. (Vgl. Fig. 2, in der alle œ v = co einander gleich

12 ) A. Sommerfeld, Math. Ann. 47 (1896), S. 317. Eine Übersicht über dieSommerfeldsche Theorie der Beugung gibt P. S. Epstein in der Enzykl. d. math.Wiss. Bd. V 3 , S. 488. (Anmerkung bei der Korrektur.) Vgl. auch SommerfeldsBeitrag zur neuen Riemann-Weber-Ausgabe, 2, Kap. XIII (im Erscheinen).Mathematische Annal en. 96. 43 .