Wellengleichung auf Riemannschen Fläohen.

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ihnen befindliche Stück der reellen Achse der «-Ebene deformieren. DieVerzweigungspunkte und Pole des Integranden in (13) sind dabei mitkleinen Halbkreisen zu umgeben (vgl.

Fig. 5).

Zunächst erkennt man, daß dieauf der reellen Achse verlaufenden Teileder deformierten Integrationswege ( U 1 )und (i/ 3 ) sich bis auf die Schleifenum die hier etwa vorhandenen Pole(p •}- 2 v%(v = 0, +1, ±2,...) des In-tegranden der Funktion (13) gegenein-ander wegheben. Eine Schleife um(p + 2 v / gibt aber nach dem Cauchy-

(ß-<7L;

1

) (p-X+iCL i

Wz

^ JÜ "LCL-j

<p

<

CuJ 1 <

}<p+JC+i(Li

cp+Jl

Fig. 5.

sehen Residuensatze die Funktion

1 1r v

Das Residuum —=.• ist daher stets vor-

fr:

handen, sobald der entsprechende Polq> -\-2v% a uf d er Strecke cp — n, cp + n liegt, d.h. sobald g ? — < <p\ 2v X < <p fiK ist. Der Beitrag der zwischen <p — n und cp -(- n ver-laufenden Integrationswege zur Funktion W läßt sich daher immer durch eineunendliche reelle Summe

8=

i

\Tr

darstellen, wo $v (9?) ein Diskontinuitätsfaktor ist, der nur für die zwischen<p-f- 2v%-\-n und ¡p + 2 V % — ji gelegenen cp -Werte den Wert 1, außer-halb dieses Intervalles aber den Wert 0 hat. Das obige Resultat bleibtunverändert bestehen, selbst wenn der in Fig. 5 nicht berücksichtigte Falleintritt, daß die Verzweigungspunkte cp + ß 1 auf der reellen Achse dera-Ebene liegen. Es dürfte wohl kaum notwendig sein, zu erwähnen, daßwegen des Diskontinuitätsfaktors & v (<p) für jede Wahl der r,cp, t- Wertenur eine endliche Anzahl der unter dem Summenzeichen stehenden Gliederzu nehmen ist.

Jetzt erübrigt es nur noch, den Anteil zu berechnen, den der in denGeraden 9Î (a) = cp + a sowie der in den kleinen Halbkreisen um dievier Punkte cp + n + ia 1 verlaufende Teil des deformierten Integrations-weges zur Funktion w = ( W ) liefert. In die Integrale, die auf denGeraden 9Í (a) = cp -}- n bzw. 9ï(o:) = cp — n selbst verlaufen, führen wirdurch die Gleichung:

a = cp

ta

bzw.

cp

i a