Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.
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Für die Funktion w erhalten wir so die gesuchte reelle Darstellungin der Form:
(20)
+ 00 J
w(r, (p, t\ f, cp, t; x) = S + I= 2>>&y((p)-==
-00 ) 1 r
C*J
1
(F +2rr — 2r r cob i a)
X
sin ~— ((p — <p + 7i)
sin — (<p — tp — n )
n / — - \ .31 3t . — . .31
cos — (® — w-r n) — cos i — a cos — (<p — f — 3i) — cos t — aX X X X
da.
Wir haben diesen Ausdruck íür w unter der Annahme abgeleitet, daßdie Verzweigungspunkte cp ± auf den Geraden 9Ï (k) — (p + n gelegensind. In dem Falle, wo diese beiden Verzweigungspunkte auf der reellenAchse der «-Ebene liegen, ist das Integral 7 gleich Null zu setzen und wwird einfach durch die Summe S dargestellt.
Eine andere Darstellung für 7, die wir an einer späteren Stelle ver-wenden, ergibt sich aus (19), wenn wir die Integrationsveränderliche a
r*
mittels der Relation cos i a = y z' 1 1 , y = cos i a. — 1 = „ _
1 ¿ r r
neue Integrationsvariable z ersetzen. Es wird dann:
durch die
(21) 7= _X I 2rr
r dz_
J 11 - z 2 IV
]yz- + 2
sin — ( <p ■
■<P + 3i)
sin — (93 — <p — 3t)
cos — <q> ■X
ist.
■ cp + jt) — X
COS ~—(w — œ
X
-3l) — X
wo X = cos i ~ arccsh (yz 2 + 1
Nunmehr wollen wir zur Diskussion der Eigenschaften der Funktion«? = 9Î(IF) übergehen und wollen vor allem zeigen, daß sie die unter 1*.bis 4*. genannten Eigenschaften besitzt. Zunächst stellen wir für denFall, daß r 4= 0 ist, die Lage der singulären Punkte der Funktion w inihrem Definitionsbereiche R* in zusammen:
I. r = 0: die Punkte in der Verzweigungsgeraden. Denn setzen wirvoraus, daß nicht gleichzeitig r* verschwindet, wir uns also nicht derSpitze des Kegels T* nähern, so wird für r = 0 nach (18) a x = +00.
II. r* = 0: die Punkte auf dem Mantel des charakteristischenKegels r*. Wird nämlich angenommen, daß nicht gleichzeitig r gegenNull geht, wir uns also wieder nicht der Spitze von r* nähern, so wirdfür r* = 0 nach (18) 0^ = 0 und der Integrationsweg muß, wie wirgesehen haben, durch einen singulären Punkt hindurchgehen.
III. r v = 0, — — 9? + 2î'^^ + tï: die Punkte auf den Kegel-