672

A. Rubinowicz.

mänteln der charakteristischen Kegel r v . Dieser Fall entspricht demZusammentreffen eines Verzweigungspunktes cp ± ß i mit einem Pole desIntegranden von W, wobei der zwischen den beiden singulären Punkteneingepflockte Integrationsweg (vgl. Fig. 4) gezwungen wird, durch densingulären Punkt hindurchzugehen, der durch das Zusammentreffen derbeiden genannten Punkte entsteht. Die Ungleichung läßt sich nämlich auchin der Form cp — 7i^(p-\-2v%^<p-\-n schreiben und besagt dann, daßder Pol <p + 2 v % auf der Strecke cp — jt, cp n gelegen ist. Aus r r — 0

folgt aber nach (11) cos(y — cp 2r%) — - — ' ' Ji —— , welchem Aus-

\

drucke nach (15) cos/Jj gleich ist. Es muß also <jp — cp-\-2v%=+ß 1-\- 2 fin (fi= 0, ±1,...) sein, so daß <p + 2 v % = cp ± ß l J -2fin ist,was aber nichts anderes als das Zusammenfallen eines Poles mit einemVerzweigungspunkte bedeutet.

Weitere besonders zu betrachtende singulare Stellen sind Schnitteder drei jetzt angeführten Mannigfaltigkeiten von singulären Punkten in R x .

Alle im Definitionsbereiche von w gelegenen Punkte, die keinem derdrei unter I, II und III angeführten Fälle entsprechen, wollen wir alsreguläre Raumpunkte bezeichnen.

Zunächst zeigen wir, daß w allen ihr durch 1*. bis 4*. in den regu-lären Raumpunkten auferlegten Bedingungen genügt.

Daß die Bedingung 1 *. erfüllt wird, ist nach den vorhergehendenÜberlegungen selbstverständlich.

Was nun 2*. betrifft, so haben wir ebenfalls oben schon gezeigt,daß w in den regulären Raumpunkten endlich ist. Daß w hier auchpartielle Ableitungen beliebig hoher Ordnung nach r, cp, t besitzt, erkenntman aus (13) ohne weiteres. Für reguläre Raumpunkte sind ja die singu-lären Fälle I bis III ausgeschlossen und die Konvergenz der betreffendenaus (13) durch Differentiation entstehenden Integrale ist durch ein hin-reichend starkes Verschwinden ihrer Integranden im Unendlichen gesichert.Bei der Bildung der Ableitungen der Funktion W nach cp wäre dabei aller-dings zu berücksichtigen, daß die Wege (U^ und (U 2 ) von der Variablenabhängen und mithin Glieder auftreten müßten, welche der Veränderlich-keit der Enden dieser Integrationswege Rechnung tragen. In Wirklichkeittreten aber diese Glieder nicht auf, da der Integrand in ( 13) verschwindet,wenn wir in der «-Ebene auf (U^ und (U n _) ins Unendliche gehen.

Mit Rücksicht auf diesen Umstand können wir auch sicher sein, daßin allen regulären Raumpunkten, wo nach dem Obigen die in der Wellen-gleichung vorkommenden Ableitungen von W nach r,cp,t vorhanden sind,IF und damit auch tv sicherlich der Wellengleichung genügt; denn die