Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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Veränderlichen r, cp, t treten in dem Integranden in (13) nur in demAusdrucke

(— r" — r 2 + 2rr cos (cp — a) + (f — t) 3 ) 1 ^-

auf, der, als Funktion von r, (p, t betrachtet, offenbar eine Lösung derWellengleichung ist. Damit ist aber gezeigt, daß w der Bedingung 3*.entspricht.

Das Erfülltsein der Bedingung 4*. folgt unmittelbar aus der Dar-stellung (13) der Funktion w.

Nunmehr müssen wir noch das Verhalten der Funktion w in densingulären Raumpunkten I bis III untersuchen, wobei wir zunächst vor-aussetzen, daß die betreffenden Raumpunkte immer nur einer dieser dreiBedingungen genügen.

I. r=0. In diesem Falle können die Eigenschaften der Funktion loeinfach aus einer Darstellung für W erschlossen werden, die in der folgendenWeise gewonnen werden kann: Wir defor-mieren den Integrationsweg (Í7 X ) bzw.

(c/ 3 ) so , daß er zu beiden Seiten derGeraden 9i(a) = cp -\- n bzw. der Geraden

9t (a) = cp — ti verläuft (vgl. Fig. 6). Wir \(p+ßi~ZJt tyy+ßi

setzen dabei in den jetzigen Erörterungen— wie dies auch in der Figur zum Aus-drucke kommt — voraus, daß F* > 0ist, weil nur in diesem Falle für kleiner- Werte der Punkt r,cp,t in dem Defini-tionsbereiche der Funktion w liegt. Da dieWurzel in (13) bei einem Umlaufe umdie Verzweigungspunkte cp + ß x nur ihr (u¿)

Vorzeichen ändert, so sind die beidenlängs einer Geraden 9 \{a) = cp + n ver-laufenden Integrale einander gleich. Füh-ren wir nun durch die Relation:

cc — <p + (tc -j- i C)

eine neue Integrationsveränderliche f für die beiden auf 9t («) — cp + jiverlaufenden Integrale ein, so ergibt sich:

9>-ßi

tp-ßi+ZX

Fig.

w=

X (2 rr)''*f

dC

X

(cos i C — cos i a,) 1 '-1

t

i -(cp-P. Z

-it)

i -(>/.'1-e «

• f + .-I + i t)