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A. Rubinowicz.

Ersetzen wir nun hier mittels z-cosî «j = cos¿ C die Integrations-variable f durch z, so erhalten wir:

dz

m w _

( Z ' cos"' i Oj — 1 )

1

X

r I 1

. n - V . n \

l-(fp-tp-Tt) . %~{cp - rp + 71)

Li — e * -Z" 1 1 — e * -ZJ

i • „ --arccsh (zcoaioi) , . , ,—z =— : —

wobei Z = e * = (z- cos -f- \z~ cos - í a 2 — 1 ) *.

Jetzt ist der lim JF leicht zu berechnen. Es ist lim cos i a 1 = + oo

r=0 V— 0

und daher lim Z=0. Da schließlich lim 2rf-cosia l = — r" + (i — t)~

f=0 r=o

wird, so erhalten wir:

(23) lim W= ——==== f ~r == - .'= • 1 ;

r=0 ^ l/-r= 2 -h(i-i) 2 J ^(^-1)'= * V_ F «+ (*_*)?

1

Mit Hilfe von (22) läßt sich ferner noch unschwer zeigen, daß

d W dW-

lim — endlich und lim r —- = 0 ist. Damit ist nachgewiesen, daß W und

r = 0 dt r= 0 8r

somit auch w in r = 0 das durch 2*. geforderte Verhalten besitzen.

II. r* = 0. Da der von der Summe /S in (20) herrührende Beitragzu der Funktion w , falls er nur nicht verschwindet, sich auf dem Kegel F*vollkommen regulär verhält, so müssen wir lediglich noch das Verhaltenvon I auf r* untersuchen. Zunächst sehen wir, daß, wenn der Punktr, <p, t in den Kegel F* rückt, wenn also der Ausdruck F * gegen Nullgeht, das Integral I gegen einen im allgemeinen endlichen und von Nullverschiedenen Grenzwert konvergiert. Es ist ja nach (21):

(24) lim 1= lim /= j T

V ' r*= o /=0 4 X (rr)l*

sin — (<p — <p + ji) sin y (<P — <P — i )

cos — (<p — cp+n) — 1 cos — (<p — cp — it) — 1

*

Da die Funktion w außerhalb des Kegels schon durch die Summe S alleingegeben wird oder überhaupt verschwindet, so erleidet w in allen Punktenvon r* einen Stetigkeitssprung.

In dem folgenden Abschnitte VI werden wir mit Grenzwerten einigerpar tieller Ableitungen erster und zweiter Ordnung von I auf dem Kegel Foperieren. Es ist daher wichtig festzustellen, daß diese Grenzwerte endlichsind. Unmittelbar einleuchtend ist diese Tatsache für die Ableitungennach cp. Sie gilt aber auch für die Ableitungen nach r und t. Als Funktion

dl d" I

von y aufgefaßt (vgl. (21)) haben nämlich die Ableitungen — und in