Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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dem Punkte y = 0 (der den Raumpunkten I "* = 0 entspricht) endlicheGrenzwerte, wie leicht mit Hilfe der Darstellung (21) zu begründen ist.Andererseits sind aber auch die Grenzwerte der partiellen Ableitungenvon y nach r, t auf dem Kegel F endlich. Schließlich sind auch diepartiellen Ableitungen der beiden ersten Ordnungen der Funktion I nachsowie die gemischten Ableitungen nach r, cp, t,r, cp, t auf F*endlich, da die Ableitungen von y nach den genannten Veränderlichenfür r* = 0 endlich sind.

Dazu bemerken wir noch: Berechnet man die entsprechenden Ab-leitungen mit Hilfe von (21), so kann man nachweisen, daß auf demgegen abnehmende t- Werte geöffneten Kegel r* die nachstehenden Re-lationen gelten:

III. r v = 0, — jt < (p — <p -j- 2r% < ti. Dieser Fall ist sofort er-ledigt. Aus der Darstellung (20) für die Funktion w folgt unmittelbar,

Bei der Behandlung der obigen drei singulären Fälle haben wir bis-her vorausgesetzt, daß die betreffenden Raumpunkte immer nur einer derdrei Bedingungen I, II oder III genügen. Entpricht aber ein Raumpunktgleichzeitig zwei oder drei solchen Bedingungen, so werden die Verhältnissein unseren Ausdrücken für w und I komplizierter und erfordern eine neueUntersuchung. Wir behandeln zunächst das Verhalten von w und I inden Raumpunkten, die gegeben sind, durch:

I und II: F* = 0, 1\ = 0, — n <p — cp + 2v % <[ -f- n.

Diese Raumpunkte liegen auf den Geraden (12), die die Kegel F v be-grenzen. Sie liegen in den entsprechenden Halbebenen:

(26 cp = y + 2v % + ti

und in ihnen berühren die Kegel F r den Kegel J lH '. Geht nun ein Punkt Pim Räume R x gegen eine dieser Geraden, so rücken in der komplexen«-Ebene gleichzeitig ein Pol cc = cp-\-2v% und die beiden auf der ent-sprechenden Geraden 9ï(a) = g? + 2î liegenden Verzweigungspunkte gegeneinen der Punkte a = cp + ti und in diesen Punkt wird im Grenzfalle einervon den Integrationswegen (£7j) oder ([/„ ) hineingedrängt.

Betrachten wir nun das Integral I. Zunächst bemerken wir: Da dieFunktion w = S-\-I, wie sofort aus ihrer komplexen Darstellung (13)

(25)

daß w auf den Kegeln F r wie unendlich wird.