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A. Rubinowicz.

folgt, in den Halbebenen (26) (mit Ausnahme unserer Geraden) stetig ist,die durch S dargestellte Funktion hier aber Sprünge + ^== besitzt, so

muß auch I hier Sprünge + -4= erleiden, die das unstetige Verhalten von S

\r v

gerade kompensieren.

In dem folgenden Abschnitte wird uns nun das Verhalten von 1 indem Falle interessieren, wo sich ein Punkt P längs einer Geraden aufeiner Riemannschen Fläche t = konst. dem Schnittpunkt P 0 unserer Ge-raden (12) mit t — konst. nähert. Die Polarkoordinaten von P bzw. P 0sind dann r,cp bzw. R , y 2v % + ji , wo R=t — t — r. Bezeichnenwir nun mit ip den Winkel, den die beiden Verbindungsgeraden PP 0

und j P 0 -Verzweigungspunkt miteinander einschließen, so ist offenbar

y sin E •

tang?/;= , wo e — (y2v% +n) — <p ist. Nähert sich P dem

ZI V COS E

Punkte P 0 , so verschwindet mit e gleichzeitig auch r , und da für kleine eund kleine r* (d. h. für r- Werte, die sich von R wenig unterscheiden)tang yj=2R(R j-r) ist, so fordert die Bedingung der geradlinigenAnnäherung von P an P 0 , daß bei diesem Ubergang y einem Grenz-werte zustrebe, d. h. daß e und F* unter Voraussetzung = konst.

gegen Null gehen. Betrachten wir nun speziell den Punkt P 0 + , mitden Koordinaten R, y- r 2v% J t-7z, so müssen wir e — ^ J r 2rx~ l r^—fsetzen. In dem Ausdruck (21) für 1 ist dann der erste Term in dereckigen Klammer für kleine e und r* = 2rfy- Werte, da X = cost -- zV2y2 y 1

wird, gleich — , so daß wir für I, soweit es von diesem ersten

TÍ1+ ^ Z2

Term abhängt ( der zweite verhält sich für s = 0 und r = 0 vollkommenregulär) erhalten:

2 r 1 dz

~ ;z7j/2~r? J ) fyz^+2 !

E 2

(27)

Dieser Ausdruck wird jedoch im Grenzfalle e — 0 und y = 0, für ~ einenendlichen, von Null verschiedenen Grenzwert vorausgesetzt, gleich

- (Signum e) —= - (signum e) —=.

2}2 rry 2Vr

Da nun für kleine s r,. = T* -j- rr - f wird, so erhalten wir unterder obigen Voraussetzung für * schließlich für (27):

- (Signum «)jgJ=;.