Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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Das gleiche Verhalten von (27) ergibt sich aber auch, wenn der Grenz-übergang so vollzogen wird, daß man zunächst F* = 0 setzt, d. h. aufder Peripherie des Kreises r*= 0, t — konst. gegen P 0 + geht, was übri-gens auch aus (24) folgt. Setzt man schließlich von vornherein e = 0,nähert sich also P dem Punkte P 0 auf der Verbindungsgeraden: Ver-zweigungsgerade -Po , so verschwindet (27). Da nun in P„ der Beitrag

von S für e > 0 gleich wird -I — , für e < 0 aber verschwindet, so

l/r v

sehen wir endlich, daß sich die ganze Funktion w in P 0 + wie -| \=

2 ]r v

verhält.

Die beiden weiteren Kombinationen je zweier Fälle, nämlich desFalles I und II und des Falles I und III, oder die Kombination allerdrei Fälle I, II und III führen zur Untersuchung des Verhaltens von win dem Punkte P 1 mit den Koordinaten r = 0 , t = t —f. Dieser Punktliegt auf der Verzweigungsgeraden dort, wo sich die Spitze des gegen ab-nehmende t-Werte geöffneten Halbkegels F* und zugleich der Schnittpunktaller Halbkegel F,, mit der Verzweigungsgeraden befindet. Nähert sich nunein Punkt P dem Punkte P x längs einer Geraden, die mit der Verzwei-gungsgeraden (und zwar mit der negativen t- Achse) den Winkel a bildet,so besteht zwischen r und t die Relation: r = tga-(t — t — r). Da 1außerhalb des Kegels r ' verschwindet, so interessieren uns dabei nur die

«-Werte, die zwischen 0 und liegen. Für den Fall, daß tgß=}=0 ist,

wir also nicht längs der Verzweigungsgeraden gehen, ist nun:

lim y = lim = — 1 + -i- .

r=0 r=0 2rr 'S«

Setzen wir dann noch weiter voraus, daß wir uns P 1 nicht längs einer indem Kegel T* liegenden Geraden nähern (denn dann wäre ja tga=l),so ist lim y endlich und von Null verschieden und wir entnehmen dann

r=0

unmittelbar aus (21), daß für r— 0 dann I wie — l .- unendlich wird.

\ r

Nähern wir uns dem Punkte P 1 längs einer Erzeugenden des Kegels rso geht 7, wie aus (24) zu ersehen ist, ebenso stark ins Unendliche. ImFalle schließlich, daß wir zur Spitze von F* längs der Verzweigungs-geraden gehen, folgt aus (23), daß die gesamte Funktion w = S + I eben-falls wie unendlich wird.jr

Wir wollen noch auf eine wichtige Eigenschaft der Funktion w auf-merksam machen. Es ist:

w(r, <p, t; r, cp, t; x) = w.(r, y,t;r,<p,t; %),