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A. Rubinowicz.

wie man dies leicht mit Hilfe der Darstellung (20) für die Funktion wbestätigt. Diese Tatsache gestattet sofort festzustellen, daß die Funda-mentallösung w(r, cp, t; f, cp, t; %) auch als Funktion von r,y,t be-trachtet, die unter 1*. bis 4*. für r, cp, t formulierten Eigenschaften be-sitzt. Insbesondere genügt w als Funktion von r, <p, t der Wellengleichung.

Schließlich möge hier noch darauf hingewiesen werden, daß w einegerade Funktion von cp — ip ist.

VI. Lösung der gestellten Aufgabe.

Nach den Überlegungen im Abschnitte III genügt es, zur Lösung derbeiden durch die Bedingungen 1. bis 4. und l'. bis 4'. festgelegten Rand-wertaufgaben das durch die Bedingungen l". bis 4". bestimmte Problemzu lösen. Diese Aufgabe nehmen wir nun in Angriff. Da es uns in derFolge auf eine Unterscheidung der beiden in diesem Probleme auftretendenFunktionen u ]L und u,, nicht ankommt (sie unterscheiden sich nur durchdie Funktionen, die die Anfangswerte bestimmen), bezeichnen wir dereinfacheren Schreibweise wegen mit u irgendeine dieser beiden Funktionen.Um nun u in einem Punkte r, y, t des Riemannschen Raumes R œ zuberechnen, nehmen wir, gleich den allgemeinen Fall vorausgesetzt, an,dieser Punkt sei so gelegen, daß der zur Funktion w(r, cp, t; r, cp, t; %)■gehörige Kegel F* die Riemannsche Fläche t=t 0 , auf der unsere Anfangs-werte gegeben sind, schneidet und der Kegel F 0 eventuell auch schon vonanderen Kegeln F,. geschnitten wird (das letztere ist nur im Falle % < nmöglich). Wir verwenden dann analog wie Hadamard 13 ) die Fundamental-formel (1) sowie die Funktion w, die in unserem Falle die Rolle derFundamentallösung spielt. Für das zunächst Folgende nehmen wir dabeian, daß die Existenz unserer Funktion u gesichert sei, setzen in derFundamentalformel v = w und wenden sie auf den Raum R y an, der ausallen Punkten von R x besteht, die zwischen den beiden Ebenen cp = 0und cp — 2% gelegen sind, in denen iv definiert und für die schließlicht t 0 ist. Die Anwendung der Fundamentalformel setzt voraus, daß uund v — iv in dem in Betracht kommenden Räume samt ihren ersten Ab-leitungen endlich und stetig sind, u hat nun aber in der Verzweigungs-geraden r = 0 eine singuläre Stelle und die Singularitäten von w liegenin den charakteristischen Kegeln F y und F*" und in der Verzweigungs-geraden r = 0. Um die Fundamentalformel anwenden zu können, teilenwir daher den Raum R y durch alle innerhalb R y verlaufenden Kegel F rund r* in einzelne Zellen Z„ ein. Die Begrenzungsfläche einer Zelle Z flheiße (Z /t). Grenzen wir nun in jeder Zelle Z u durch eine nahe an ( Z fl \

13 ) J. Hadamard, 1. c.