Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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verlaufende Fläche ( S fl ) einen Raum S„ ab, so können wir in S fl auf uund w die Fundamentalformel anwenden. Da beide Funktionen derWellengleichung genügen, gilt die Relation :

( 28 ) fSi u TÏ- w zï )dr= 0.

<v

Lassen wir nun in jeder Zelle Z„ die Fläche ( S /t ) gegen die Begrenzungdieser Zelle ( Z fl ) rücken, so ergibt in jedem speziellen Falle die Be-ziehung (28) beim Grenzübergang eine neue Relation. Durch Additionaller dieser Relationen wird sich dann die gesuchte Lösung unseres Pro-'blems gewinnen lassen.

Betrachten wir zunächst etwa die Zelle Z fl , die die Spitze des Kegels F 0enthält; sie heiße Z 0 . Z 0 wird im allgemeinen teilweise von F 0 undanderen Kegeln r r , von F* und schließlich von den Ebenen 9? = 0 undcp—2% begrenzt. Je nach der besonderen Wahl der Größen r,cp,t,%kann aber mit Ausnahme von F 0 und t — t 0 die eine oder andere der ge-nannten Flächen in der Begrenzung von Z 0 fehlen. Die Funktion w wirdnun in der Zelle Z 0 schon allem durch das in der Summe S enthaltene

Glied -= dargestellt. Sie wird also in der Fläche F 0 wie unendlich,

^ ^ °. . . Ho

verhält sich aber in den übrigen Begrenzungsflächen von Z n , selbstver-ständlich abgesehen von ihren Schnitten mit F 0 , vollkommen regulär.Lassen wir nun (<S 0 ) gegen (Z 0 ) rücken, so werden gewisse Teile derFlächenintegrale in der Relation:

//(«£—$*-•

(So)

gegen einen unendlichen Wert streben. Nach Hadamard (das hier für dieZelle Z 0 behandelte Problem ist vollständig identisch mit dem vonHadamard (1. c.) gelösten) erhalten wir nun bei dem erwähnten Grenz-übergange eine richtige Relation, wenn wir von allen Integralen nur ihreendlichen Teile beibehalten. Dabei ist zu beachten: Das über r o erstreckteFlächenintegral entfällt vollständig. Da aber in dem Punkte r, y, t derAusdruck -= von höherer Ordnung unendlich wird als in den übrigen

Punkten von r o , so ist dieser Punkt in eine kleine Kugelkalotte einzu-schließen. Beim Grenzübergange ergibt sich dann der endliche Teil desüber diese kleine Kugeloberfläche erstreckten Integrales nach Hadamard zu:— 2 nu(r, ïp, t ). Wir können somit offenbar u(f, <p, t) zunächst durchdie endlichen Teile von Flächenintegralen darstellen, die über die Begren-zung von Z 0 zu erstrecken sind, soweit sie aus dem Kegel T*, den anderenKegeln F v ( v 4= 0), den beiden Halbebenen cp = 0, cp = 2% und schließlich