Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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auf der Fläche t = t 0 :

, on \ Cff dl I T Su I 1 S(ulr)\ I

(32} J J H M Jt + 7 r Í + r -3—)\ t= J dr d * '

wobei die Integration nach cp zwischen zwei aufeinander folgenden Halb-ebenen (26) und nach r zwischen 0 und dem Radius R — t — t 0 — r desSchnittkreises von r* mit t = t Q zu erstrecken ist.

Um die Integrale über die Halbebenen (26) brauchen wir uns nichtzu kümmern. Die Integrale (30) über die Flächen (26) sind ja Null,weil der Vektor (31) in den Ebenen cp = konst. liegt und daher der Inte-grand verschwindet. Addieren wir andererseits die auf die Halbebenenbezüglichen Integrale (29) (d. h. ihre endlichen Teile), so erhalten wirebenfalls Null, wenn wir in ihnen, was für uns schließlich einzig in Be-tracht kommt, statt I die Funktion w = S + / verwenden, w verhältsich ja in den Halbebenen (ihre Schnittlinien mit r* ausgenommen) voll-kommen regulär und die endlichen Teile der Flächenintegrale zu beidenSeiten einer Halbebene (26), die zwei benachbarte Zellen Zi' ] trennt, sindeinander entgegengesetzt gleich. Wegen der Periodizität von u und w ver-schwindet ferner die Summe der beiden Integrale über cp == 0 und q> = 2 %.

Die Verzweigungsgerade, die Schnittgeraden der Kegel F v mit denHalbebenen (26) und die Spitze des Kegels r* sind bei diesem Grenz-übergang mit entsprechenden Flächen zu umgeben. Die Summe der beidenauf diese Flächen bezogenen Flächenintegrale (29) und (30) verschwindet.

Addieren wir nun die Integrale (32) über sämtliche Zellen Z[^, soerhalten wir als Resultat:

2 * R

roo\ ffM« dl , 1 d(ulr)\\ , ,

(33) J )VTt- u Tt+T^Fr-)\ rdrd( P'

0 0 t=t Q

wobei hier die Integration über cp von 0 bis 2% zu erstrecken ist. Zu-nächst bemerken wir, daß dieses Integral konvergent ist. Das Verhaltendes Integranden im Punkte r = 0 ist wohl vollständig klar. In den Punkten

Pf, mit den Koordinaten R,œ-\-2vy+ji verhält sich I wie ± —= und,

2 yr v

wie man sich leicht mit Hilfe von (21) überzeugt, wird hier die im Inte-

d 1 dl

granden auftretende Kombination der Ableitungen von 1 nämlich — — —auch nicht stärker unendlich. Sodann erkennt man aber, -daß (33) sichin der Form

2 X R 2/ R

(34) r dt-dcp j j Iii r dr dcp

0 ü t ~ t 0 ' ^ 00 t=t a

darstellen läßt.

Mathematische Annalen. 96.

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