Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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die Halbebenen <p = 0 und <p — 2% zu erstreckenden endlichen Teile derunendlichen Integrale einander entgegengesetzt gleich, da w und u perio-disch mit der Periode 2% sind. Wegen der Periodizität von w muß sichnämlich zu jeder Zelle Z flJ , die z. B. teilweise von der Halbebene cp = 0begrenzt wird, eine andere Zelle Z /H angeben lassen, die genau die gleicheBegrenzung in der Halbebene cp=2% besitzt. Im Falle, daß die Spitzedes Kegels F 0 hinreichend nahe an einer der Ebenen cp = 0 oder cp = 2%gelegen ist, kann es sich ereignen, daß die Z fl in dem Räume R y in zweiräumlichen Bereichen angeordnet sind, die miteinander keine Begrenzungs-flächen gemeinsam haben. Es fallen dann aber die Flächenintegrale überdie äußere Begrenzung dieser Bereiche fort. Diese Begrenzungsflächen be-stehen ja dann aus den Kegeln und die Summe S reduziert sich auf

das dem betreffenden Kegel F,. entsprechende Glied -L= allein. Schließlich

I I ' v

bemerken wir noch, daß das für die Zelle Z x über die Fläche F* erstrecktemit S gebildete Flächenintegral bei der Addition aller Beziehungen (28)gegen anderen Zellen Z,, zugehörige Flächenintegrale sich weghebt. Diedurch S dargestellte Funktion ist nämlich in dem Kegel F* stetig, undsobald wir uns in einem Bereiche von Z x befinden, wo S auf F* nicht ver-schwindet, muß an F* eine Zelle Z fl grenzen, in der tv = S also gleich istder Summe aller Glieder —L=. die in der Summe S der Funktion w = 8 4- 1

in

in Z x auftreten. Und umgekehrt: In dem Bereiche, wo w in Z 1 durch1 allein dargestellt wird (dieser Fall kann nur für % > n eintreten),werden an F* keine weiteren Zeilen grenzen.

Man erkennt daher, daß bei der Addition aller Beziehungen (28) alleIntegrale, soweit sie sich nicht auf die Fläche t = t 0 beziehen, schließlichfortfallen, wenn wir nur das auf Z x und 1 bezügliche Integral durch dieüber die Fläche t = t 0 erstreckten Integrale (33) oder (34) ausdrücken.

Da endlich in der Fläche t = t n : -f = — v- ist, so erhalten wir durch

u av dt

Summation all unserer, auf die einzelnen Zellen Z u bezüglichen Relationenfür u den Ausdruck:

(35) 2„ » (F. f. t) -2~ I JJ », (,)• (-^ fï - A (^)

+

,\r r st

2 y.R 2 ¿R

\l B - u rdrdcp~\~~ ( [luJ J dt t= to dt J J

0 0 0 0 0

u

df

t=t„

rdrdcp,

t — to

der, wenn wir die endlichen Teile der unendlichen Integrale nach den imAbschnitt IV angeführten Regeln in gewöhnliche Integrale umformen,auch in der Form:

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