Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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reiches 0,2 % der Veränderlichen cp unter allen Kegeln F v und F nur nochder Kegel P 0 die Fläche t — t 0 . Es reduziert sich daher dann die Funk-tion u auf den von Hadamard angegebenen Ausdruck:

!nu (r, (p, t) —

FÍ7-L — —— (- p=)«)| df,

JJ \fr 0 dt dt \\rj ) \t=, a

und für diese Funktion ist von dem genannten Autor der Nachweis er-bracht worden, daß sie die vorgeschriebenen Anfangswerte besitzt.

Nunmehr müssen wir zeigen, daß u die durch 3". geforderten Eigen-schaften besitzt. Um uns zunächst zu überzeugen, daß u samt ihren Ab-leitungen der beiden ersten Ordnungen mit Ausnahme der Verzweigungs-geraden und der durch die Anfangsbedingungen verursachten singulärenStellen überall in R x endlich und stetig ist, bemerken wir, daß diesesVerhalten von u für den Beitrag, der durch die Summe S in w geliefertwird, durch die bereits angeführten Untersuchungen von d'Adhémar undHadamard verbürgt ist. In unserem Falle hat man nur noch bei derDifferentiation nach (p zu beachten, daß die Grenzen der Bereiche, inner-halb deren die einzelnen Glieder in S von Null verschiedene Werte an-nehmen (d.h. die durch t — t 0 und (26) dargestellten Halbgeraden) zu-gleich mit f ihre Lage ändern. Da jedoch die gesamte Funktion w = S + Iin den genannten Halbgeraden stetig ist, so treten bei der gesamten Funk-tion u bei der Differentiation nach ¡p keine Zusatzglieder auf, die sichauf diese Halbgeraden beziehen würden. Was nun den vom Integral Iherrührenden Beitrag (34) betrifft, so ist bei der Bildung seiner Ablei-tungen zu beachten, daß die Integrationsgrenze R von t und r abhängtund, wie dies bfi (34) betont wurde, im Grenzfalle der Punkte P 0 dieendlichen Teile der betreffenden Integrale zu nehmen sind. Nach der obengemachten Bemerkung über die Bildung der Ableitung nach kann diesein (34) formell einfach unter dem Integralzeichen ausgeführt werden.

Untersucht man nun das Verhalten von u in der Verzweigungs-geraden r = 0, so kann man zunächst zeigen, daß u beim Hineinrückenin die Verzweigungsgerade endlich bleibt und zwar so, daß

2 7. -ßo 2 £ R 0

2x lim u(r, cp, t)— \ \ —L=. — j r dir dtp + f f u rdr dcp7=0 J J \r* st It= to et J J \ r * í = í „

wird. r 0 und R 0 sind dabei die Werte von r bzw. R für r = 0, alsor* = — r" + (t — £ 0 ) 3 und R 0 =t — t 0 . Die Integration ist über einenKreissektor zu erstrecken, der auf der Riemannschen Fläche t —1 0 imBereiche 0,2 ^ der Veränderlichen cp liegt und von der Kreislinie r = R 0mit dem Zentrum im Verzweigungspunkte begrenzt, also vom Kegel F*