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A. Rubinowicz.

ausgeschnitten wird. Auf den Nachweis dieser Behauptung soll hier nichtnäher eingegangen werden. Ebenso verzichten wir auf die Wiedergabe des

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Beweises, daß —= im Verzweigungspunkte endlich bleibt und lim r

hier verschwindet.

Das Erfülltsein der Bedingung 4". ist leicht festzustellen. Aus denUntersuchungen von Hadamard folgt zunächst, daß u, soweit es durchdie in (36) unter dem Summenzeichen auftretenden Glieder dargestelltwird, der Wellengleichung genügt. Die in unserem Falle bei der Diffe-rentiation nach ip noch auftretenden Zusatzglieder sind nicht weiter zuberücksichtigen, da sie sich, wie oben bemerkt wurde, gegen entsprechendeTerme wegheben, die bei der gleichen Differentiation der in (36) mit Igebildeten Integrale (d. h. des Ausdruckes (34)) auftreten. Die Tatsache,daß (34) der Wellengleichung genügt, folgt dann aus dem Umstände, daßI eine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung ist und die wegender Veränderlichkeit der Integrationsgrenze R bei der Differentiation von(34) noch auftretenden Zusatzglieder mit Rücksicht auf (25) verschwinden.

Zu den obigen Überlegungen bemerken wir noch, daß sie sich aufden Fall verallgemeinern lassen, wo die Funktion u in dem durch 1. bis 4.definierten Probleme auch noch Stellen besitzt, wo sie in vorgegebenerWeise unendlich wird. Lösungen der Wellengleichung, die solche Singu-laritäten aufweisen, lassen sich ja für Riemannsche Verzweigungsflächen,die nur einen einzigen Verzweigungspunkt im Endlichen besitzen, nach demSommerfeldschen Verfahren herstellen und aus ihnen kanj^ man dann durch„Zusammenstückeln" Lösungen mit singulären Stellen für beliebige Riemann-sche Flächen herstellen. Vom physikalischen Standpunkte aus sind solcheUnendlichkeitsstellen als Energiequellen und Energiesenken zu deuten,z. B. in der Optik als Lichtquellen und Lichtsenken.

Die Differentialgleichung der Potentialtheorie -f- = 0 ist nun

als ein Spezialfall der jetzt behandelten Wellengleichung (2) aufzufassen.Es dürfte daher möglich sein, auf dem Wege über die Wellengleichung,auf Grund der oben bewiesenen Sätze, die Riemannschen Existenztheoremeliber die algebraischen Funktionen und ihre Integrale zu beweisen. Setzt

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man etwa zur Zeit t = t 0 den Anfangszustand u und — gleich Null und

läßt von diesem Zeitmomente an Quellen und Senken von geeigneter Be-schaffenheit wirken, so kann man in den beiden Fällen der einfach über-deckten Ebene ohne Verzweigungspunkte und der Riemannschen Flächemit nur einem einzigen Verzweigungspunkte im Endlichen mit Hilfe der