F. Krauß. Differential invarianten und Vektorübertragung.

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aussetzung einer allgemeinen (linearen) Vektorübertragung 1 ). Sie stelltdabei den Begriff einer Zerlegung (in „Kern" und „Rest") in den Mittel-punkt, die an beliebigen Differentialausdrücken mit Hilfe gewisser ausge-zeichneter Feldgrößen („Fundamentalvarianten", „charakteristischer Grund-varianten") vorgenommen wird. Diese Zerlegungsniethode läßt, wie mirscheint, den inneren Grund der Invarianz deutlicher hervortreten und führtrascher und einfacher zu den differentialgeometrischen Fundamentalformenund ihren Beziehungen als die bisher üblichen Darstellungen. Insbeson-dere erhalten wir auf einfache Weise die Erweiterung des sogenanntenReduktionssatzes, der bereits von Christoffel (Crelle 70) und Ricci undLevi-Civita (Mathem. Annalen 54) durch komplizierte Eliminationsrech-nungen für den Fall der gewöhnlichen Riemannschen Geometrie auf-gestellt, bisher aber noch nicht für eine beliebige Vektorübertragung ab-geleitet wurde 2 ). Ferner ein analoges Theorem für Differentialformen aufGebilden (Kurven, Flächen, Hyperflächen usw.) beliebiger Dimension.

Um die Begriffsbildung auch für das rechnerische Verfahren fruchtbarzu machen, schien eine Modifikation der gebräuchlichen Ricci-Bezeichnungnützlich, zu der ich mich erst nach längerem Widerstreben entschlossenhabe. Sie beruht in der Hauptsache auf dem naheliegenden Gedanken,die Indexzeichen unmittelbar als Zeichen für die Grundvektoren zu ver-wenden und die bei der gewählten Grundvektorbezeichnung frei werdendenoberen Indexstellen für die Ableitungszeiger zu benutzen. Überdies wer-den, wie in der elementaren Vektoranalysis, die drei direkt geschriebenenOperationen der Addition, Multiplikation und Überschiebung (von Ten-soren mit Vektoren) gebraucht. Ich glaube, daß diese auf den ersten Blickvielleicht ärgerlich erscheinende Neuwahl der Zeichen sich selbst recht-fertigen wird 3 ). Es versteht sich, daß der Schwerpunkt der Arbeitnicht in dieser Symbolik, sondern in den Grundbegriffen (Zerlegung mittelsder charakteristischen Grundvarianten usw.) zu suchen ist.

Alle Invarianten — es handelt sich hier nur um absolute — sindFunktionen gewisser nicht-invarianter („varianter") Elemente, deren Trans-formationsänderungen sich in jenen Funktionen dadurch kompensieren,daß zwischen ihnen ein Transformationszusammenhang vorgeschrieben ist.

*) Zur Orientierung s. z. B. Schouten, Der Ricci-Kalkül (Julius Springer, 1924),S. 62 ff.

s ) Schouten, a. a. 0. S. 101; Weitzenböck, Enzykl. d. math. Wissensch. III El,1922; E. Noether, Invarianten beliebiger Differentialausdrücke, Göttinger Nachr. 1918,Algebraisohe und Differentialinvarianten, Jahresbericht d. Deutschen Mathem.-Vereini-gung 32, 1. Abt. Heft 5/8, 1922.

3 ) s. u. S. 697 ff.