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P. Krauß.

Besteht gar kein solcher Zusammenhang, oder sind, wie wir sagen wollen,die Varianten Argumente einer Funktion frei oder unabhängig variant,so kann die Funktion nur dadurch invariant sein, daß sie von ihrenVarianten Elementen unabhängig ist. Diesen letzteren können dann be-liebige triviale invariante Werte erteilt werden, z. B., falls ihr Definitions-bereich es zuläßt, Null 3 ").

Unter Fundamentalvarianten A eines Variantensystems Q verstehenwir ein System frei varianter Größen, als deren Funktionen sich alle Ele-mente des Systems Q darstellen lassen, derart, daß in diesen Funktionenaußer den Fundamentalvarianten nur noch invariante Größen vorkommen.Mit cp(Q), y>(A) usw. seien Funktionen von beliebigen Elementen aus Qund A bezeichnet; co bedeute ein beliebiges Element aus ß, cp (0) die Größe,die entsteht, wenn man in cp{Q) alle Elemente aus Û null setzt. Ist eineVariantenfunktion cp (Q) vorgelegt, so können wir in ihr alle co ausdrückendurch A und dadurch 93 (¿2) in die Form (p 0 (A) bringen. cp 0 [ 0) ist danneine Invariante, die wir den mit A gebildeten Kern von rp (Q) nennen.Die Zerlegung <p( Q) = <p 0 (0) + <?> (-4) liefert den zugehörigen Rest cp r [A).Die Kernbildung wird im allgemeinen von der Wahl der A abhängig sein.Zur Kernbildung ausgezeichnet werden solche Varianten heißen, aus denendie A (durch gewisse Prozesse wie rationale Komposition, Differentiationusw.) gebildet sind.

Wenn nun <p(Q) eine Invariante ist, so muß (p 0 (A) von den freiVarianten A unabhängig, mit seinem Kern cp 0 ( 0 ) identisch und dieser vonder Wahl der zur Kernbildung ausgezeichneten Größe unabhängig sein. Vor-auszusetzen ist dabei, daß der Variabilitätsbereich, indem <p 0 ( S) definiertist, E — A und E — 0 enthält, und cp 0 regulär ist, so daß aus seiner Kon-stanz im Bereich E = A auf die Konstanz im ganzen Bereich geschlossenwerden kann. Diese Voraussetzungen sind im folgenden stets erfüllt.Existieren „annullierende" Transformationen d. h. solche, bei denen die Averschwinden, so kann der Kern auch von vornherein definiert werden alsdie invariante Darstellung des Wertes der Varianten bei annullierendenTransformationen. Aus dem Begriff des Kerns folgt unmittelbar, daß derKern einer Variantenfunktion gleich ist der Funktion der Variantenkerne.

3a ) Zusatz bei der Korrektur. Die Einführung des Terminus „variant" ge-schieht aus folgenden Gründen. Es treten in dieser Arbeit die Varianten Elementeselbstständig und vor den invarianten, die sich erst aus ihnen zusammensetzen, auf.Sie verdienen daher nicht, bloß negativ bezüglich der letzteren bezeichnet zu werden.Ferner wären Wortbildungen wie „Differentialnichtinvariante" sprachlich unmöglich.Schließlich ist die allgemeinere Bezeichnung „variabel" unbrauchbar, weil sie auchfür invariante Feldgrößen benutzt wird, die als Funktionen des Ortes beim Fortgangm Felde sich ändern.