692

F. Krauß.

invariante Werte. Wir nennen nun ein System von Größen, die bei einemzugelassenen System von Transformationen T frei variant sind, charakte-ristisch in p-ter Ordnung bei T, wenn zwei Koordinatensysteme aus Tin P dann und nur dann äquivalent in- p-ter Ordnung sind, ivenn siein P in diesen Größen übereinstimmen.

Das Wesentliche im invariantentheoretischen Begriff der charakte-ristischen Differentialvarianten beruht darauf, daß sie das veränderliche(„neue") Koordinatensystem jeweils festlegen nicht relativ zu einem andern(„alten") Koordinatensystem, sondern durch die Werte, welche geeignetevariante Feldgrößen in dem zu charakterisierenden Koordinatensystemannehmen. Jene Bestimmung des Koordinatensystems relativ zu einemanderen wird durch die Transformationsableitungen gegeben und die Trans-formationsgleichungen sind es, welche die Werte der Differentialvariantendurch die Werte von Varianten im alten Koordinatensystem und dieTransformationsableitungen darstellen, nicht aber durch variante Feld-größen und Invarianten, wie es durch die Einführung der Fundamental-varianten geschieht. Dies ist der Grund, weshalb die Transformations-gleichung zwar das Invarianzkriterium liefert (in Gestalt der Unabhängig-keit dieser Darstellung von den in sie eingehenden Transformationsablei-tungen), nicht aber eine Reduktion der Differentialinvarianten. Die cha-rakteristischen Differentialvarianten leisten nun beides gleichzeitig, da sieFundamentalvarianten sind für das System aller Differentialvariantenvon nicht höherer als p-ter Ordnung. Denn die Werte der letzterenhängen bloß bis zur p-ten Ordnung vom Koordinatensystem ab, siemüssen also Funktionen sein derjenigen Größen, welche das Koordinaten-system (innerhalb T) bis zur p - ten Ordnung vollständig charakterisieren,d. h. es muß für sie Darstellungen geben, in denen die charakteristischenDifferentialvarianten die einzigen Varianten Elemente sind.

Wir wollen diese Verhältnisse, so einfach sie sein mögen, ge-nauer ausführen. Uberstrichene Größen sollen Werte varianter Größenin einem beliebigen alten Koordinatensystem bedeuten, das zunächst fest-gehalten wird, f, seien die durch Transformation veränderlichen neuen

Koordinaten. Das System aller Transformationsableitungen „ „ ,. — bis

8 h . 8 S /i ...

zur p-ten Ordnung einschließlich bezeichnen wir mit t' v) ; mit t ip) —t {q)die Transformationsableitungen von der (q -f-1)- ten bis zur p -ten Ordnung.Die allgemeine reguläre Gruppe der Transformationen sei T 0 ; diejenige,bei welcher die i (l) die Einheitsmatrix bilden (im betrachteten Punkte P),sei mit T x bezeichnet. Bei T x sind alle Differentialgrößen von ersterTransformationsordnung invariant. Die Differentialinvariantentheorie hatzu ihrem wesentlichen Grunde die Tatsache, daß bei T 0 die t <p) in einem