Differentialinvarianten und Vektorübertragung.

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beliebigen Punkte frei variant sind, d. h. daß sich immer Koordinaten-systeme angeben lassen, welche in P den t lp ' beliebige Werte verleihen.Dieser Vari anzb er eich der t {p ' bei T 0 ist nur dadurch eingeschränkt, daß dieDeterminante der t { " nicht verschwinden darf, und daß die Transformations-ableitungen, die sich formal nur durch die Reihenfolge der Differentiationenunterscheiden, identisch sein müssen ( Eindeutigkeit und Integrabilität).Bei T i sind die zugehörigen t iv) — t a) frei variant. Wenn co eine Diffe-rentialvariante p-te r Transformationsordnung ist, so besagt dies: Esexistiert ein Variantenkomplex, den wir mit C 0 , bezeichnen, derart, daßsich co in einem beliebigen zugelassenen Koordinatensystem ausdrücktnach der Transformationsgleichung:

(1) co = f(t (p> ,C 0> ).

Ist ein von T 0 verschiedenes Transformationssystem T zugelassen, so sindin ihm die t (v) i. a. nicht mehr frei variant, vielmehr sind ihnen Be-dingungen auferlegt. Diese Bedingungen symbolisieren wir mit:

(2) B T (t m ) = 0.

A ' t bedeute ein System in p-ter Ordnung charakteristischer Differential-varianten bei T. Das System der zugehörigen Transformations-gleichungen sei :

(3) Ä^=F{t w ,C A w).

Die A?" müssen sich dadurch als frei variant zu erkennen geben, daßsie durch die Gleichungen (2), (3) als voneinander unabhängige Funk-tionen der t {v) definiert sind. Ferner aber, und nur hierdurch sind dieAf charakteristisch, muß das System (2), (3) die t lv) als eindeutigeFunktionen der Alj! ] , CjW bestimmen, so daß Darstellungen existierender Form:

t lp) = <P (AT\ CJ¡V>).

Demgemäß können wir oben in der Transformationsgleichung (1) die t' p)durch die A^, C a ^ ausdrücken, so daß co die Gestalt annimmt:

(4) co = v{A% ) ,C A $),C m ).

Der Unterschied dieser letzteren Form von co gegenüber der in ( 1 ) bestehtdarin, daß in yj die A y ' nur von dem neuen Koordinatensystem, nichtaber auch von dem alten abhängen, wie es die i (p) tun. Nun ist nachunserer Voraussetzung das alte Koordinatensystem beliebig gewählt; dieDarstellung gilt also sowohl bei Veränderungen des alten wie des neuenKoordinatensystems. Die Veränderung des neuen ändert A y." und co, und