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F. Krauß.

zwar können dadurch den Ay' beliebige Werte erteilt werden; die Ände-rung des alten Koordinatensystems läßt aber m und die A^ ] in Ruheund macht nur die C a (p) und C a zu Varianten. Nun ist xp eine Funktion

<7>(/ly'), in deren Konstante die C' a und C a so eingehen, daß bei be-liebigen Transformationen der C a 5" und C m und für jeden beliebigen

festen Wertkomplex der A^\ y> ungeändert bleibt. Das ist aber nurmöglich, wenn diese Konstanten aus den CjW, C w gebildete Invarianten

sind 9b ). Also sind die A t ] Fundamentalvarianten des Systems aller Diffe-rentialvarianten nicht höherer als p-ter Transformationsordnung.

Solche Feldgrößen, aus denen die C a ^ und die yly 1 gebildet sind(durch Differentiation und Komposition), heißen zur Charakteristik desKoordinatensystems ausgezeichnet. Jedes Größensystem, das von den A { rf ]umkehrbar eindeutig abhängt, ist offenbar wieder ein charakteristischesGrößensystem, und dasselbe gilt für die C a {p) ■ Verschiedene Arten derCharakteristik des Koordinatensystems loerden i. a. verschiedene Kern-bildungen der Differentialvarianten erzeugen; liegt aber Invarianz desDifferentialausdrucks vor, so ist sein Kern unabhängig von der Wahl derC a (p> und A t ] ■

T 1

3. Grundvarianten als charakteristische Differentialvarianten.

Die bisher besprochene Charakterisierung des Koordinatensystemsdurch irgendivelche zur Kernbildung ausgezeichnete Feldgrößen ist an sichnoch keine differential<7eoraeinscAe. So können wir uns z. B. ein physi-kalisches Kontinuum denken, in dem eine formale Geometrie überhauptnicht festgelegt ist (wie z. B. in der Thermodynamik), in der aber Zustands-funktionen, die von der Wahl der Zustandskoordinaten abhängig sind,existieren, so daß diese Koordinaten und ihre Verteilung bis zu einer ge-wissen Differentiationsordnung charakterisiert sind durch die jeweiligenWerte der Zustandsfunktionen und ihrer Ableitungen nach den Koordi-naten. Läßt sich überhaupt das Koordinatensystem durch irgendwelchefrei variante Feldgrößen bis zu einer gewissen Differentiationsordnung voll-ständig charakterisieren, so ist es möglich, an irgendwelchen Differential-ausdrücken Kernbildungen vorzunehmen und sie, bei Invarianz, zu redu-zieren. Hiermit sind sehr allgemeine Bedingungen bezeichnet, unter deneneine Feldtheorie invariantentheoretisch formuliert werden kann.

3b ) Zusatz bei der Korrektur. Hierbei ist natürlich die, im Folgendanstets erfüllte, Voraussetzung zu maohen, daß die Konstanten in der Darstellung'/>(A^ } ) eindeutig durch den Funktionsverlauf von 0 bestimmt sind; denn nur dannwird jede Änderung dieser Konstanten eine Änderung von y nach sich ziehen.