Differentialinvarianten und Vektorübertragung.

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Differentialj/eome/nscAe Bedeutung — und darin besteht die weitereSpezialisierung des allgemeinen Begriffs der Fundamentalvarianten — er-halten die charakteristischen Differentialvarianten erst dann, wenn zweiArten der Auszeichnung von Feldgrößen zusammenfallen; nämlich, wenndie zur Kernbildung ausgezeichneten Feldgrößen gleichzeitig zur geome-trischen Grundbestimmung des Raumes ausgezeichnet sind. Unter Grund-bestimmung ist dabei die Eintragung und Auszeichnung solcher Feldgrößenzu verstehen, mit denen die fundamentalen geometrischen Relationen undOperationen definiert werden. Die ursprünglichen, in diese Definitionenunmittelbar eingehenden Größen, wie z. B. die g itt , oder, bei fehlenderMaßbestimmung und gegebener Vektorübertragung, die verallgemeinertenDreizeigergrößen (gewöhnlich mit p/* bezeichnet), mögen fundamentaleGrundgrößen heißen. Die aus ihnen durch Differentiation und beliebigeKomposition gebildeten Ausdrücke aber Grundgrößen überhaupt. Dieseletzteren zerfallen in Grundvarianten und Grundinvarianten. Eine Grund-invariante in diesem Sinne ist z. B. das Krümmungsmaß des Riemann-schen Raumes. Ist in dem Räume ein Gebilde gegeben, worunter wirein beliebiges Teilkontinuum niedrigerer Dimension, das sich durch reguläreParametergleichungen bestimmen läßt, verstehen wollen (Kurven, Flächen,Hyperflächen usw.), so nennen wir diejenigen Größen, die nur durch dieGrundbestimmung des Raumes und die Eigengestalt des Gebildes definiertsind, Eigeninvarianten des letzteren. Alle übrigen Feldgrößen, die, etwaim Hinblick auf physikalische Anwendungen, überdies noch im Räumeursprünglich angenommen werden, seien als Stammgrößen bezeichnet.

Da die Grandvarianten lediglich von der geometrischen Grundbestim-mung des Raumes und dem Koordinatensystem abhängen, so müssen siegeometrische Eigenschaften an den Koordinatenlinien, welche diesen durchdie Grundbestimmung aufgeprägt sind, zum Ausdruck bringen. So gebenz. B. die gewöhnlichen g, k , als Grundvarianten aufgefaßt, die Winkelzwischen den Koordinatenlinien und die auf ihnen durch die Koordinaten-verteilung bewirkte Parameterdichte an. In p-ter Ordnung charakteristi-sche Grundvarianten A? sind deshalb solche differentialgeometrische Größenan den Koordinatenlinien, welche diese und die Parameterverteilung aufihnen bis zu einer gewissen Ordnung vollständig bestimmen und überdiesdurch die zugelassenen Transformationen T unabhängig voneinander variiertwerden können. Alle Grundvarianten müssen sich dann durch solcheund Grundinvarianten darstellen lassen. Hierin kommt der Zwang zumAusdruck, durch den die invariante Struktur des Raumes die gegenseitigeVeränderlichkeit der Grundvarianten einschränkt. Irgendwelche den A?'auferlegte Bedingungen spezialisieren das Koordinatensystem innerhalb T.Wegen der freien Varianz der A? muß es stets Koordinatensysteme