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F. Krauß.

geben, welche (in irgendeinem Punkte P) den A™ beliebige Werte ver-leihen; umgekehrt muß jede differentialgeometrische Spezialisierung desKoordinatensystems innerhalb T sich durch Bedingungen, die den A^ auf-erlegt werden, angeben lassen. Die einfachste Spezialisierungsmöglichkeitist offenbar die, bei welcher das Koordinatensystem die Ay 1 annulliert.Ein Koordinatensystem heißt in p-ter Ordnung innerhalb T invariantspezialisiert , wenn die Ay' mit Grundinvarianten in Beziehung gesetztwerden, und diese Spezialisierung wird eine vollständige sein, wenn indem betreffenden Koordinatensystem die Werte der A y' mit Differential-invarianten identisch werden. Wählen wir z. B. auf einer euklidischenKurve als Parameter die wahre Länge, so fallen in diesem invariantspezialisierten Koordinatensystem die Differentialquotienten des Ortsvektorsbeliebig hoher Ordnung mit Eigeninvarianten der Kurve (Richtungs- undKrümmungsvektoren) zusammen. Ähnliches findet auf einer Fläche statt, wennwir invariant ausgezeichnete Kurven (z. B. Krümmungs- oder Asymptoten-linien) als Koordinatenlinien wählen und auf ihnen nach ihren wahrenLängen differenzieren. In allen Anwendungen des Koordinatenbegriffs aufdie geometrische und physikalische Wirklichkeit ist die invariante Strukturdes Gebildes, an welchem die Koordinaten zu definieren sind, das primäraufgefaßte, und jede wirkliche Festlegung der Koordinaten erfolgt dadurch,daß sie zu dieser invarianten Struktur, d. h. zu den Eigeninvarianten des Ge-bildes, in Beziehung gesetzt werden. Charakteristische Grundvarianten habenalso eine doppelte Funktion, eine invariantentheoretische, in der sie vonden Differentialausdrücken invariante Kerne abspalten und Differentialin-varianten reduzieren, und eine geometrische, in der sie die Eigengestalt des Ko-ordinatensystems durch beliebig variierbare Bestimmungsmomente festlegen.

Als geometrische Grundbestimmung betrachten wir nun in dieserArbeit — und hierin besteht die dritte und letzte Spezialisierung des Be-griffs der Fundamental Varianten — die allgemeine lineare Vektorübertragung,auf die sich der tensorielle Ableitungs- und Gradientprozeß gründet, unddie durch die verallgemeinerten Dreizeigergrößen definiert ist. Aus diesenund ihren Ableitungen werden die charakteristischen Grundvarianten gebildet.

Auf Gebilden genügt die analoge Charakteristik des Koordinatensystems nicht;die diese Charakteristik liefernden vektoriellen Eigenkrümmungen der Koordinaten-linien springen nämlich i. a. aus dem Gebilde heraus infolge der Eigenkrümmungdes letzteren; aber diese Krümmungsvektoren sind frei variant nur in tangentialerRichtung. Infolgedessen bedarf es, um bestimmte tangentiale frei variante Kompo-nenten zu bilden, der Definition einer invarianten Projektionsrichtung, mit der nicht-tangentiale Vektoren eindeutig in tangentiale und quergerichtete Komponenten zerlegtwerden können („Querrichtung"). Solche Projektionsrichtungen sind in der gewöhn-lichen Maßgeometrie durch die Orthogonalität, in der affinen Geometrie durch affin-normale Richtungen definiert (s. u. Teil III).