Differentialinvarianten und Vektorübertragung.

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Als Stammgrößen treten hierzu die Bestimmungszahlen beliebigerTensoren und deren Ableitungen. Die fundamentalen Grundgrößen derVektorübertragung (Dreizeigergrößen) sind selbst schon von der zweitenTransformationsordnung; infolgedessen ist es nicht möglich, durch sie undihre Ableitungen die Eigenschaften erster Ordnung des Koordinatensystems(Richtungsverhältnisse und Parameterdichte der Koordinatenlinien) zucharakterisieren. Dies ist der Grund, weshalb wir als Invarianzgruppe T 1wählen müssen; denn da bei 7\ die t m die Einheitsmatrix bilden, so be-darf es bei dieser Gruppe einer Charakteristik in erster Ordnung nicht.Nun sind aber die Bestimmungszahlen der Tensoren von erster Trans-formationsordnung und infolgedessen invariant bei T x . Ein Difieren tial-ausdruck ist daher nur dann Tensorkomponente, wenn er bei T 1 invariantist. Die Aufgabe also, einen beliebigen Difierentialausdruck, dessen varianteElemente nicht alle Tensorkomponenten sind, durch Tensorkomponentendarzustellen, erscheint als Reduktionsproblem bei der Invarianzgruppe l x .Auf diese Weise führt die Bildung der charakteristischen Grundvariantenbei T x und der zugehörigen Kerne auf Reduktionssätze d. h. auf Theoreme,welche diejenigen Tensoren angeben, aus denen man Differentialausdrücke,die invariant sind oder Tensorcharakter haben, rein algebraisch (projektiv)und ohne weiteren Differentiationsprozeß zusammensetzen kann.

Für die tensorielle und vektorielle Symbolik waren folgende Forderungen maß-gebend. Die direkt geschriebenen vektoriellen und tensoriellen Operationen müssenselbst einfach sein und nach einfachen Regeln vollzogen werden können, die mög-lichst analog sind dem gewöhnlichen skalaren Rechnen und den bekannten Operationender elementaren Vektoranalysis. Demgemäß schreiben wir mit tensoriellen Zeichendie Addition, die Multiplikation, die Überschiebung eines Tensors mit einem Vektor(inneres Produkt) und die invariante Differentiation. Ebenso wichtig wie die In-varianz und invariante Schreibart der Formeln ist aber die Spezialisierung des Koor-dinatensystems. Dieses erscheint in den Formeln durch Zerlegung der tensoriellenund vektoriellen Größen in ihre Komponenten, wodurch die Grundvarianten explizithervortreten. Ein brauchbarer tensorieller Kalkül muß daher eine einfache mecha-nische Weise enthalten, die tensoriellen und vektoriellen Formeln in die Komponent-form (vollständig zerlegte Form) überzuführen und insbesondere die Grundvariantenso schreiben, daß ihre geometrische Bedeutung und ihr Verhalten bei der Trans-formation übersichtlich hervortreten. Das ist zumal für unsere invariantentheore-tischen Untersuchungen erforderlich, die es mit Grundvarianten in erster Linie zutun haben.

Diese verschiedenen Forderungen lassen sich erfüllen, wenn man eine möglichsteinfache Schreibweise für die Grundvektoren wählt. Wir bezeichnen sie, wie schon be-merkt, mit den auf die Zeile gesetzten Indexbuchstaben. Die Grundvarianten sind in derHauptsache nichts anderes als die Grundvektorableitungen, welche in unserer Symbolikauch bei höherer Differentiationsordnung in einfacher Form erscheinen, während sie inder gewöhnlichen skalaren Schreibweise verhältnismäßig unübersichtliche vielgliedrigeAusdrücke werden, deren Transformationsweise und geometrische Bedeutung nicht un-Mathcmatische Annalen. 96. 45