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F. Krauß.

in (6) ergibt für die Überschiebung von 91 x ... x 58 x £ die „Uber-schiebungsregel" in dem Sinne, daß zuerst der rechtshändige Faktor £ biszum Skalar durchüberschoben wird, hierauf der links anschließende 58 usw.Diese Multiplikation enthält die Multiplikation eines Tensors mit einemSkalar als denjenigen Spezialfall, bei dem ein Faktor von nullter Stufe ist.Das Zeichen x kann daher auch für Multiplikation mit Skalaren benutztwerden.

1. und 3. haben allgemeine Produkteigenschaft und sind daher mit 2.distributiv verknüpft. 2. und 3. sind assoziativ. Damit sind die wesent-lichen Rechenregeln gegeben. Sie sind einfach und dem skalaren Rechnensowie der elementaren Vektoralgebra analog. Die Klammersetzung istgegeben durch die bei fehlenden Klammern geltende Ausführungsfolge(wobei wir die erst unten einzuführende Differentiation vorwegnehmen):1. Differentiation, 2. Uberschiebung, 3. Multiplikation, 4. Addition.

Die n- reihige Einheitsmatrix, aufgefaßt als System von Bestimmungs-zahlen von n Varianten Verschiebungsvektoren, definiert die Grundvektorenerster Art. Variante Elemente werden stets mit griechischen Buchstabenbezeichnet. Da die Grundvektoren die fundamentalen Grundvarianten sind,aus denen sich alle übrigen durch Differentiation und algebraische Kom-position ableiten lassen, so bedürfen wir einer möglichst einfachen Be-zeichnung für sie. Wir schreiben daher den zur Koordinatenlinie derSi, f y., I;., £», ■■■ gehörigen Grundvektor erster Art mit den auf die Zeilegesetzten Indexbuchstaben l,x,X,q,... . Bei numerischer Bestimmtheit

der Indizes schreibt man zweckmäßig 1,2 Die (unterpunktierten)

Grundvektoren zweiter Art sind (vormetrisch) definiert durch die Re-ziprozitätsbedingungen :

und können auch bestimmt werden als diejenigen Varianten Vektoren zweiterArt, welche jedem Vektor erster Art durch Uberschiebung seine Bestimmungs-zahlen zuordnen.

Die Bestimmungszahlen eines Tensors s-ter Stufe 21 lassen sich niui-mehr definieren als Überschiebungsprodukte von 31 mit s Grundvektoren,wobei je nach der Art von 2Í Grundvektoren nur erster oder nur zweiterArt oder aus beiden Arten gemischte zu nehmen sind, so daß die Be-stimmungszahlen von 2t sich schreiben : 21c* ... oder 21 ix ... oder 21 ix ... nsw.Überschiebungen von 21 mit p (np s) Grundvektoren ergeben Koordinatenp-ten Ranges und (s — p)- ter Stufe von 2t, so daß die Bestimmungs-zahlen als Koordinaten 5- ten Ranges und skalarer (nullter) Stufe erscheinen.Für die tensorielle Rechnung und invariantentheoretische Überlegung besteht

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