Differentialinvarianten und Vektorübertragung.

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zwischen Koordinaten gleichen Ranges und gleicher Art von Tensoren ver-schiedener Stufe kein Unterschied. Aus ihnen können deshalb gleichartigeInvarianten gebildet werden, so daß die Erzeugung derselben von derStufe der Tensoren unabhängig wird. Grundlage der algebraischen In-variantenbildung ist natürlich die Kontragredienz der Vektorkomplexe i.und «. Die ersteren transformieren sich gemäß :

(8) '-2w*-

wo die iiberstrichenen Zeichen sich auf das alte Koordinatensystem be-ziehen. Algebraische Invarianten sind Summen aus Produkten, in denendie L und i. als einzige variante Faktoren stehen und über die kontra-gredienten i und i paarweise summiert wird 7 ). Dabei ist es für die In-varianz gleichgültig, mittels welcher der beiden Produktoperationen 1.und 3. (s. o. S. 699) die Produke gebildet sind. Die einfachsten Invariantensind die Dimension und der (gemischte) Einheitstensor

(9)

Ist 2hx .. .V Koordinate p-ten Ranges des Tensors 21, so hat der Tensordie Zerlegung p-ten Ranges:

(10) 2Í = Y, 2D ?... V X V X ... X X ¿ .

Skalare Koordinaten ergeben die vollständige Zerlegung des Tensors. Diemit 2Í gleichstufigen Glieder dieser Zerlegung sind die Komponenten p-tenRanges. Die drei algebraischen Grundoperationen sind gerade diejenigen,welche hinreichen, um mittels der Grundvektoren einerseits den Tensor inseine Bestimmungszahlen abzubauen, andererseits ihn wiederum daraus zu-sammenzusetzen. Die Koordinaten invarianter Tensoren sind kogredientmit den Produktkomplexen der sie erzeugenden Grundvektoren, daher ebensowie diese, von erster Transformationsordnung und invariant bei Transfor-mationen der Gruppe T 1 . Die Darstellung eines bei T 1 invariantenDifferentialausdrucks durch Koordinaten invarianter Tensoren bedeutet da-her die Reduktion desselben bei T 1 .

Ist a ein beliebiger Vektor, so ist bekanntlich die allgemeine (lineare)Vektorübertragung 8 ) durch da = 0 definiert, wo das invariante Differential deiner unendlich kleinen Verschiebung im Felde entspricht und folgendeBeziehungen gefordert werden:

(H) =

Q

') Daß Summierungszeichen bezieht sich stets auf paarweise gleiche Zeiger,

diese mögen nun Grundvektorzeiger oder Ableitungszeiger (hochgeschriebene) sein.

8 ) Siehe z. B. Schouten, a.a.O. S. 62ff.