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F. Krauß.

d (a ± b) = da ± db,

d(pa) = (dp) a -\-p(da) .

Hier ist p ein beliebiger Feldskalar und í> ein Vektor derselben Art wie a.

Wegen der Zerlegbarkeit aller Vektoren nach den Grundvektoren isteine solche Vektordifferentiation bekanntlich allgemein definiert, wenn dieAbleitungen der Grundvektoren t und i in irgendeinem Koordinatensystem

durch beliebige Feldfunktionen festgelegt sind. Wir schreiben im folgenden

d ( )

an Stelle des Ableitungszeichens —p einfach ( ) e . Die Größenkomplexe

e

i« x und i e X sind also die fundamentalen Grundgrößen der allgemeinenVektorübertragung (gewöhnlich mit r," e und F 0 ¡, bezeichnet). Sie sindDifferentialvarianten von zweiter Transformationsordnung-, ihre Trans-formationsweise ist durch die Kovarianz der i, die Kontravarianz der i unddie allgemeinen Differentiationsregeln (11) bestimmt. Beliebig fortsetzbareVektordifferentiationen höherer Ordnung sind nunmehr ebenfalls definiert.Die Koordinaten der Grundvektorableitungen höherer Ordnung t«° ■■■und is°- - sind ganze rationale Kompositionen aus den Fundamentalgrößenund ihren Ableitungen (s. u. S. 703, (19)). i e x + xe i ist Koordinate einesinvarianten Tensors dritter Stufe (des Einheitsgradienten): (£', fl ) so daß

(12) X s L = &' qix — is X .

Wir können daher auch i- x und ©' qix als fundamentale Grundgrößen ansehen.

Auf Grund der Vektordifferentiation kann in verschiedener Weise eineinvariante Differentiation von Tensoren höherer Stufe definiert werden.Ist Sí ein solcher Tensor und sind 31 l x ... y seine Bestimmungszahlen, soerhält man bekanntlich eine kovariante Ableitung 2-1 5 durch Erweiterungin folgender Weise:

(13) 9i e i x ... V — (21 í x ... v) e — ie x ... V — tyine ...V — ... — 'üix . ,.v e .

Eine andere kovariante Ableitung erhält man durch reguläres Durch-dift'erenzieren des vollständig zerlegten Tensors:

(14) 2 (21 < ... v) e x V x ... x i

+ 2 2t Í . . . )' X VB X . . . X i ; . . . -)- 21 1 . . . V X V X . . . X l S .

Die derart entstehenden Gradienten (erster Ordnung) 9 ®) sind Tensoren mitum eins erhöhter Stufe. Der Gradient von 21 wird mit 2t' bezeichnet undes ist also:

(15) %' = 2Wxq, 2I' i? = 2I £? .

°) Scliouten, a. a. O. S. 66.

"") Eine Terminologie, welche den Tensor 2Í' von seinen Koordinaten 21 2 , denko variant en) Ableitungen, unterscheidet, ist um so mehr geboten, als auf Gebilden(s.u. S. 712) der Gradientprozeß die Querrichtung voraussetzt, die Ableitung aber nicht.