Differentialinvarianten und Vektoriibertragung.

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Die durch die beiden verschiedenen Definitionen gewonnenen Einheits-gradienten ($' sind entgegengesetzt gleich. Das Verschwinden von ©' oderdie äquivalenten Beziehungen

(IG) i&y. — — x e t

haben die Äquivalenz beider Gradientprozesse zur Folge. In beiden Fällenergibt die Differentiation von Produkten beider Arten zunächst ein Haupt-glied, das durch gewöhnliches Durchdifferenzieren der Faktoren entsteht;hinzu treten Zusatzglieder, in die außer den ursprünglichen Faktoren derEinheitsgradient eingeht. Wird letzerer Null, so gilt demnach für dieDifferentiation allgemein die gewöhnliche Produktregel. Es ist für unsereÜberlegungen gleichgültig, welche Art von Gradientbildung gewählt wird.Der Einfachheit halber legen wir im folgenden die zweite Art zugrunde.Bei dieser gilt:

CS'o = 6 ! '=2'i s x¡+2'íXí s ,(9Ib) e = 2I e b+2Ib e - Web).

Aus der ersten dieser Formeln kann man (s. o. (12)) alle Ableitungen «<?•••durch die i e ■ ■ und Gradienten von (£ ausdrücken.

Ist ein beliebiger Ausdruck aus irgendwelchen Tensoren und den Grundvektorenmittels der definierten tensoriellen Zeichen und Operationen erzeugt, so verstehen wirunter seiner vollständigen Zerlegung die Darstellung seiner Bestimmungszahlen durchdie Bestimmungszahlen jener Tensoren, die fundamentalen Grundgrößen, sowie dieAbleitungen dieser beiden Größenarten nach den Punktkoordinaten. Das Verfahrenzur Zerlegung in Koordinaten ist natürlich folgendes: Man überschiebt den direkt,geschriebenen Ausdruck s-ter Stufe mit s Grundvektoren, so daß seine Bestimmungs-zahlen entstehen. Hierauf zerlegt man jede nicht-skalare Größe (außer den Grund-vektoren), z. B. 9t, in dem Ausdruck vollständig d. h. in ihre Bestimmungszahlenund die Grundvektoren (s. o. S. 701 (10)). An diesem Zerlegungsaggregat werdendie Operationen, welche 9t mit anderen Elementen des Ausdrucks verknüpfen, nachden Regeln des Kalküls ausgeführt. Bei Differentiationen von 9t ergeben sich dannAbleitungen der Grundvektoren und der Bestimmungszahlen von 9t. Die ersteren zer-legt man analog unter Einführung der fundamentalen Grundgrößen i e x und i e x.Beispiele:

(18) (div9t);.=2?9te ? A=2;(9t iX x ¥X£ ) e ? A=^(9t ? A) e +2?%xx ¥ e;.+2;9t,Ax I e ? ,

í ear r=2Xi^y. X y.y r ^(cS r )"+2](^}.x,. a 9 + («e p )')x«*r

-f2^i G fx(;.°r) r + 2J(i e i-) z x>. a \ .Die drei invarianten Grundtensoren zweiter, dritter und vierter Stufe:

(S

(20) %iq = i e — Q' j

§ g oi = <<?" —