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P. Krauß.

sind Fundamentaltensoren, da, wie die folgenden Betrachtungen zeigen,auf sie alle Invarianten mittels des Gradientprozeßes und algebraischerKomposition reduziert werden 10 ). § ist der verallgemeinerte RiemannscheTensor. Ç liefert bekanntlich den Seitenexzeß im kleinen Dreick 11 ).

Es ist nunmehr unsere Aufgabe, aus den fundamentalen Grundgrößencharakteristische Grund Varianten (s. o. S. 696) zu bilden und mit ihnendie Zerlegung aller Varianten Elemente in Kern und Rest zu bewerk-stelligen.

5. Die charakteristischen Grundvarianten der allgemeinen

Vektor Übertragung.

Wir betrachten die fundamentalen Grundgrößen x, deren Ableitungensowie Größen der Form i sa "'y. Letztere sind ganze rationaleKompositionen aus jenen, in der vereinfachenden unzerlegten vektoriellenForm geschrieben (s. o. S. 703, (19)). Ein System von Größen (i 8 ?)"'" odervon Größen ie a ---K heiße permutationsfrei (bezüglich der i, o, a, ... ;y. kommt nicht in Betracht), wenn nicht zwei Elemente darin vorkommen,von denen das eine durch Permutation der aus dem anderen

hervorgeht. Ein permutationsfreies System wird vollständig heißen, wennbei einer festen Höchstordnung der zugelassenen Ableitungen alle Index-kombinationen der t, q, o, ... einmal vertreten sind. Die Transformations-ordnung einer Größe (i c x)""' oder i ea "y. ist, da i von erster, r also von.zweiter Ordnung ist usw., gleich der Anzahl der Zeiger i, q , o ,... .

Eine einfache Überlegung zeigt nun, daß ein vollständiges permu-tat ionsfreies System von der Höchstordnung p sowohl aus Größen (i-y. )"'"wie aus Größen i s "'"y. ein System A^l ist. Wir wählen das letztere System,weil es wegen der vektoriellen unzerlegten Schreibweise die zugehörigeKernbildung vereinfacht.

Das Bedingungssystem B Ti (t ) (s. o. S. 693) ist:

(21) (t y- d A-l °» i + "

(21) ^ "»ft -\ 1, i-*'

10 ) Unter Fundamentaltensoren des Raumes oder eines Gebildes im Räume ver-stehen wir unabhängige Tensoren von der Art, daß sich aus den Bestimmungszahlendieser Tensoren und ihrer Gradienten beliebiger Ordnung alle skalaren Differential-invarianten und Bestimmungszahlen aller invarianten Differentialformen, die durchdie Grundbestimmung des Raumes und die Eigengestalt des Gebildes gegeben sind,rein algebraisch d. h. ohne weitere Differentiation komponieren lassen. Auf Gebildenwerden dabei sowohl die mit den inneren wie die mit den äußeren Grundvektorengebildeten Bestimmungszahten zugelassen (s. u. S. 712).

") Siehe Schouten a. a. O., S. 67, wo g mit 2 S j ,' t '' bezeichnet ist.