Differentialinvarianten und Vektorübertragung.

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die durch Transposition benachbarter Indizes sich ergeben. Unter diesensind drei Formen zu unterscheiden:

(24) 1. ie az - — 2. — i°er- } 3. _■ t —

Bei 3. stehen die Transpositionen nicht an erster oder zweiter Stelle wiebei 1. und 2. Wesentlich ist nun, daß infolge der Grundforderung en (11),S. 701 f., für die Vektordifferentiation sich 3. auf 2. zurückführen läßt gemäß :

(25) X — jie«"--).

In die Wirbel der Formen 1. und 2. kann man aber g". und § (s. o. S. 703)unmittelbar einführen :

(26) ie az -~ — Q lar ■■■ — LQ) nr , iQOr... _ ¿(Tgr... _ (¡QgOt)*"'.

Die Ausführung der Differentiationen an diesen vektoriellen Überschiebungenvon g und § mit den Grundvektoren ergibt Aggregate aus ÜQ;

($", ¡£>"; usw. und Grundvektorableitungen von niedrigerer Ordnung alsdie ursprüngliche von '•••. Somit drückt sich diese letztere Größe durchein Element aus A?], Grundvektorableitungen niedrigerer Ordnung unddie Fundamentaltensoren (£, § und deren Gradienten aus. Mit dennoch vorkommenden Grundvektorableitungen niedrigerer Ordnung verfährtman ebenso, bis alle nicht in A^l enthaltenen i'e'—x durch die A á? unddie (£, sowie deren Gradienten eliminiert sind.

Die sich so ergebende Komposition für i'e' (bzw. für die Be-stimmungszahlen i'e'°' r '■■■x) ist ein Aggregat von Produkten aus A t], §und Gradienten von ©, sowie den bei T 1 invarianten Grundvektoren.

Diejenigen Produkte, welche keinen Faktor aus A?] enthalten, sind daherbei T 1 invariant, die übrigen aber verschwinden mit den A?]. Also bildendiese letzteren den Rest, die ersteren den invarianten Kern.

Somit gilt der Reduktionssatz der allgemeinen Vektorübertragung:Ist <p (Q) eine Invariante bei T 1 , so ist sie mit ihrem Kern identischund hat daher eine reduzierte Form aus den in Q stehenden Stamm-tensoren und deren Gradienten, soivie den Fundamentaltensoren (S, fÇ, §mid deren Gradienten.

Die Höchstordnung der Gradienten bestimmt sich durch die höchsteTransformationsordnung der in cp ursprünglich vorhandenen Varianten Ele-mente. Erst nach Adjunktion von (£, § zum Stammsystem erzeugtalso der Gradientprozeß allein die invarianten Tensoren, aus denen sich alleDifferentialinvarianten rein algebraisch (projektiv) zusammensetzen lassen.

7. Beispiele. Reduzierte Differentiation.Wir erläutern zunächst an drei sehr einfachen Beispielen die Ver-wendung der Kernbildung als Invarianzkriterium.