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F. Krauß.

Zu untersuchen ist die Invarianz der Rotation

(27) (rot 9í)t* = (9li) K — (St«)'.

Durch Ausdifferenzieren und Einführung von (£ und % hat man:

(91 - 91'**)- 9I(®'*< - ©'«*) + SÍ(gí*).

Ein Rest tritt nicht auf, so daß Invarianz bei T 1 und Tensorcharaktervorliegt. Die in die einzelnen Glieder eingehenden i^x, t°x fungierenlediglich als variante Scheinargumente, von denen die Rotation tatsächlichunabhängig ist.

Desgleichen untersuche man:

(28) cykl. (9(<*) A = (SI <x) 1 + (SUt)*+ (91**)'.

Wir erhalten:

cykl. (S hx)'- = cykl. 3 V hx — cykl. Si (©'At)* — cykl. 9i« (©'/*)

+ cykl. (91«** + 91«**),cykl. 9Í «* ; - = cykl. 9Í* V = cykl. Sí* t ; - + cykl. 91

Nachdem so die vorkommenden i'-, *.'■ permutationsfrei gemacht sind,kommt als Rest:

cykl. (Sit** + 9l*« A ).

Dieser Rest verschwindet dann und nur dann identisch in den i'- und *,wenn 91 antisymmetrisch ist.

Man untersuche desgleichen (Sí;) e —(SÍ£>)'. Die Zerlegung ergibtals Rest:

91 — 91 g' = .¿"91* X (« s * — Q 1 *) = — Jb"9í* X (* e i — * l q ),

wo *' und k " permutationsfrei sind. Dieser Rest verschwindet nicht iden-tisch in den *' und *e. Also hat (9Í«) S — (9íp)' nicht Tensoreigenschaft 12 ).

Nach dem Bisherigen können nach Adjunktion der § zu den

Stammtensoren alle Differentialinvarianten gebildet werden durch Gradient-prozeß und rein algebraische Komposition (worunter hier jede Kompositioneiner Größe aus Koordinaten von Tensoren ohne Differentiationsprozeßverstanden werden soll). Die algebraische Komposition enthält als variante

12 ) Ist der vorgelegte Differentialausdruck <p{ü) unabhängig von t-* und i e x,so kann man trotzdem den Gradientprozeß formal handhaben und mit ihm die In-varianzuntersuchung machen, wobei man die Grundbestimmung 6tets durch die Voraus-setzungen @'= g = § = 0 spezialisiert denken kann. In ähnlicher Weise kann manauf Gebilden (s. u. Teil III) eine beliebige Querrichtung als formale Hilfskonstruktionannehmen, um vorgelegte Differentialausdrücke zu untersuchen, obgleich diese vonder Auszeichnung einer Querrichtung unabhängig sein mögen.