Differentialinvarianten und Vektorübertragung.

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Grundelemente nur die Grundvektoren i und i. Sei nun eine bei T 0 in-variante Größe dieser Art gegeben, wo A die vorkommendeninvarianten Elemente symbolisiere. Dann ist <p'- eine bei T 0 lcovarianteund bei T 1 invariante Ableitung. Die Ausführung des Differentiations-prozesses an (p wird aber außer Gradienten A' auch Ableitungen t e undergeben, so daß nach der Differentiation keine reduzierte Form mehr vor-liegt. Es ist aber erwünscht, in reduzierten Formen rechnen zu können,da diese als Normalformen fungieren und durch die Abwesenheit der nichttensoriellen Elemente «£•••, ie-~ die Struktur und Invarianz der Komposi-tionen einfacher hervortreten lassen. Für die Herstellung reduzierter Formengilt das Prinzip: Enthält eine invariante Funktion nur frei variante Ele-mente, so können diese in ihr annulliert werden. Es sei nun (ps eineKomposition der Form y(A, A' , t, i, « e , t e ). Man denke sich die i' ■ durchdie i« und (£' ausgedrückt:

f e = ®V? -

so daß man erhält:

yj (A, A', i, t, i e , (&'g • f — ^ 'l e ix Ä)).

Alle in dieser Komposition auftretenden i" und I e haben denselben Zeiger q.Sie sind deshalb ein permutationsfreies System. Andere bei T í varianteElemente kommen nicht vor. Da die permutationsfreien i e , I e bei T 1frei variant sind, da ferner yj bei T 1 invariant ist, so können in yj die isdirekt annulliert werden. Hieraus folgt die Regel der reduzierten Diffe-rentiation: Ist <p(A,i,i) eine Invariante und daher <p G eine ¡covarianteAbleitung, so kann man bei Ausführung der Differentiation die i alskonstant ansehen und die entstehenden i° durch (S'g ■ i ersetzen, so daß mansogleich die reduzierte Form des Ergebnisses erhält. Damit ist gleichzeitigbewiesen, daß bei beliebiger Anwendung der kovarianten Ableitung undrein algebraischer Prozesse zwar ©', niemals aber einer der Wirbel und §neu eingeführt werden kann. Die (£, ^, § sind demnach nicht aufeinanderreduzibel mittels des Gradientprozesses.

Um die Anwendung der reduzierten Differentiation an einem einfachen Beispielzu zeigen, leiten wir die tensorielle Verallgemeinerung der elementaren Vektorformel:

rot rot a = grad div a — div grad a

ab. Und zwar der Einfachheit wegen für den gewöhnlichen Riemannschen Raum((J' = g = 0). Die allgemeine rot ist definiert durch:

(rot 2l)« e = (3t«) e — (91g)',

die allgemeine div durch:

div SI = £VL e e = 2W'e?-Sieht man von der bekanntlich in Varianten theoretisch inkorrekten und nur im drei-