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F. Krauß.

dimensionalen Gebiet möglichen Identifizierung einer Vektorrotation mit einem Vektorab, so ist die gewöhnlich mit rot rot bezeichnete Invariante — div rot. Es ergibt sich:

rot 91 = 2 (3t 'j * — 21', { )x «X t ,

div rot 31 = ^ ((91 ';jt - 3t 'x { )x »x «)V

Die reduzierte Differentiation liefert für den letzteren Ausdruck:

div rot 31 = 2 (31 "sex - 2t" e?? )x * = Z"ä" e? -2%" ev ex*-

Ferner ist:

div grad 31 = 2J (91''. xgrad div 31 = 2J (2l'ee)*x* ,und durch reduzierte Differentiation:

div grad 31 = 2J 31% g ,grad div 31 = r 3("x SS x¡¡ .

Also :

div rot31 = div grad 31 — grad div 31 + (9l"* e ¿> — 31"e*e)x ?

\ /

2 (31 y.ee — 9t' e) <e)x ? = J£(rotgrad 3t) e .g.

rot grad 31 ist, wie die vollständige Zerlegung von 3t lehrt, eine Überschiebung von 3tmit dem Riemannschen Tensor § und verschwindet mit diesem.

Die relativistische Elektrodynamik formt bekanntlich die Maxwellschen Gleichun-gen mit Hilfe eines vierdimensionalen Vektorpotentials f, eines schiefsymmetrischenFeldtensors g- und eines vierdimensionalen Stromvektors § zunächst um zu:

div grad f = 3, rotf = Ç, cykl. (g ( „)*= 0, div f = 0 .

Die erste Gleichung ist die retardierte Potentialgleichung und schreibt sich in einemorthogonalen Koordinatensystem :

d~ fi , 3 2 f i , 3 2 ft 1 ä" fi

«t-o i o j. Q ' a f~° n 2 o ^ *

af- 0f 3 " C

An ihr ist die Lorentz-Invarianz unmittelbar erkennbar, und sie ist der eigentlicheAusgangspunkt der ganzen Theorie. Nun gibt aber die Relativitätstheorie die end-gültige Feld-Strom-Gleichung in der Form:

( 30 ) div g = div rot f = â .

Der Zusammenhang dieser Formel mit der retardierten Potentialgleichung wird erst,wie mir scheint, durch die obige Zerlegung (29) von div rot deutlich. Da divf = 0,so wird, wenn § = 0, div grad f = div rot f. Liegt aber Gravitation vor, so ist dieretardierte Potentialgleichung nicht mehr äquivalent mit (30). Es tritt vielmehr einGlied hinzu, das den Einfluß der Raumkrümmung auf die Potentialgleichung zumAusdruck bringt.

III. Teil. Tensorfelder auf Gebilden.

8. Tensoroperationen auf Gebilden.

Wir betrachten in diesem Teile vektorielle und tensorielle Größen-felder, die auf Gebilden definiert sind, und aus denen durch den im Räume