Differentialinvarianten und Vektorübertragung.

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vorgegebenen Ableitungsprozeß Differentialinvarianten erzeugt werden. Zu-nächst stellen wir wiederum kurz bekannte Elemente der allgemeinen ten-soriellen Differentialgeometrie in besonderer Form zusammen 13 ).

Die (inneren) Koordinaten in dem im Vollraum R n liegenden Ge-bilde (Kurve, Fläche usw.) R m (ra < n ) werden von nun an mit £ t ,£ x , ...bezeichnet (griechische bis ra laufende Zeiger), die Koordinaten im vollenRäume R n und auf R m (äußere Koordinaten) mit | 7l , £ k , ... (lateinischebis n laufende Zeiger). Das Gebilde sei analytisch regulär, so daß die(f ;i )'"" bis zu behebiger Ordnung bestimmte endliche Werte haben. Inunseren Betrachtungen treten nunmehr an Stelle der äußeren mit h,j,k,...zu bezeichnenden Grundvektoren die inneren ..., die zu den inneren

Koordinaten 1^, in R m gehören. Diese i sind Verschiebungsvek-toren auch im vollen (n- dimensionalen) Räume und haben die äußerenKoordinaten: <ft=(f 7l ) 1 - Bestimmungszahlensysteme mit griechischenZeigern (3 hx. 58 ff..., (£(*...) bestimmen bekanntlich nur dann Tensorenim Vollraum, d. h. sie liefern nur dann mit beliebigen, durch irgendwelche,äußere Koordinaten gegebenen, auf R m stationierten Vektoren in R n be-stimmte Formwerte, wenn sie von der zweiten Art, und also die griechi-schen Zeiger unterpunktiert sind. So hat man z. B. als Überschiebungvon 3t{>£ mit den Vektoren £,ty: 9Í (p)(>") (*)?') (?'*)> so ^aß:

die äußeren Koordinaten des durch 2(/, x bestimmten Tensors sind. Die Vek- ;toren t sind als Vektoren im Vollraum R n erst dann definiert, wenn ein,(n — ra)-dimensionales Kontinuum nicht-tangentialer Verschiebungsvektoreninvariant ausgezeichnet ist. Bilden nämlich q 1; q 2 , ..., q„_ m eine Basisdieses pseudonormalen oder, wie wir lieber sagen wollen, quergerichtetenKontinuums, so sind die i als Vektoren zweiter Art im Vollraum definier-bar durch:

Jetzt erst definieren auch Koeffizientensysteme mit nicht punktierten,griechischen Zeigern n- dimensional e Tensoren gemäß:

9Í = J^SÍíjíX^xí.

Den durch die (n — ra)-dimensionale Querrichtung definierten Tensor

nennen wir Richtungstensor von R m . Die kovariante Ableitung 91"' eines,(n- dimensionalen) Tensors 9Í ist von der Querrichtung unabhängig und

9Inj — y^h.KXKX i)„j = J}91 {?('»)(»/)

(31)

= y, i X i

13 ) S. z. B. Schouten, a. a. O. S. 136 ff., 173 ff., 183 ff.