Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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seinen Wert beibehält, ihre gegenseitige Konfiguration die gleiche bleibt.Die in den Punkten (14) befindlichen Pole haben dagegen eine von 90unabhängige Lage. Im folgenden ist auch immer zu beachten, daß derPunkt a = 00 für unseren Integranden eine wesentlich singuläre Stelle ist.

Schließlich sieht man noch sofort, daß das Integral (13) im all-gemeinen konvergieren wird, d. h. mit eventueller Ausnahme der Fälle,wo die Verzweigungspunkte des Integranden ins Unendliche rücken oderwo der Integrationsweg gezwungen wird, durch einen singulären Punktdes Integranden hindurchzugehen. Der Integrand von (13) verhält sichnämlich, falls die Verzweigungspunkte im Endlichen liegen, im Unendlichenauf den Geraden 91 («) = cp + n ± co v , wenn wir die Integrationsveränder-liche a durch die Gleichung a=(p±n + m v -{-ia einführen, für große

negative a wie e ¿ und für große positive a wie e '* .

Bevor wir zur Diskussion der Funktion w = 9Î ( W) übergehen, wollenwir sie noch in reeller Form angeben, da sich aus dieser Darstellung einigeihrer Eigenschaften mühelos folgern lassen. Bei dieser Umformung müssenwir über die Lage der Verzweigungspunkte

(17) <P±ßx, ± (Zn — ßi)

näher orientiert sein. Liegt zunächst der Punkt r, cp,t innerhalb desKegels r*, so ist 1 > 0 und infolgedessen

cos ß x = - - 1 < - 1 .

Setzen wir

ß 1 =ia 1 +n,

so wird

(18) cos ia í — ^—1. + 1,

a x also reell sein. Die Punkte (17) liegen daher unter dieser Voraus-setzung in der «-Ebene in

<P ±.(¿ + n) und cp 4: (ia 1 — n),

also auf den Geraden 9 \(a) — <p + n symmetrisch zur reellen Achse der«-Ebene. Diesem Falle entspricht die Fig. 2. Nähert sich nun der Punktr,cp,t der Verzweigungsgeraden r = 0, so wird, wie aus (18) zu ersehenist, «j gegen +00 wandern. Nähert sich aber r,<p,t dem Kegel F* = 0,nimmt also P*> 0 ab, so wird a 1 kleiner, und wenn der Punkt r, cp, tin die Kegelfläche r* = 0 zu liegen kommt, verschwindet a x und die beidenauf jeder Geraden 9Î («) = 99 + 71 bzw. 9î(a) = <p — n befindlichen Ver-zweigungspunkte fallen miteinander zusammen. Für r*= 0 muß alsoder Integrationsweg ( U 1 ) durch den Punkt u=<p-\-7i und der Weg ( U„ )

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