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in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen^). Verfolgtman genau, was wir bei dem Zählen der Menge oder Anzahl vonDingen thun, so wird man auf die Betrachtung der Fähigkeit desGeistes gefuhrt, Dinge auf Dinge zu beziehen, einem Dinge ein Dingentsprechen zu lassen, oder ein Ding durch ein Ding abzubilden, ohnewelche Fähigkeit überhaupt kein Denken möglich ist. Auf dieser einzigen,auch sonst ganz unentbehrlichen Grundlage muß nach meiner Aasicht,wie ich auch schon bei einer Ankündigung der vorliegenden Schriftausgesprochen habe'-), die gesammte Wisseilschaft der Zahlen errichtetwerden. Die Absicht einer solchen Darstellung habe ich schon vor derHerausgabe meiner Schrist über die Stetigkeit gefaßt, aber erst nachErscheinen derselben, und mit vielen Unterbrechungen, die durch gesteigerteAmtsgeschäfte und andere nothwendige Arbeiten veranlaßt wurden,habe ich in den Jahren 1872 bis 1878 auf wenigen Blättern einenersten Entwurf aufgeschrieben, welchen dann mehrere Mathematikereingesehen und theilweise mit mir besprochen haben. Er trägt den-selben Titel und enthält, wenn anch nicht auf das Beste geordnet, dochalle wesentlichen Grundgedanken meiner vorliegenden Schrift, die nurderen sorgfältige Ausführung giebt; als solche Hauptpunkte erwähneich hier die scharfe Unterscheidung des Endlichen vom Unendlichen (64),den Begriff der Anzahl von Dingen (161), den Nachweis, daß dieunter dem Namen der vollständigen Jnduetion (oder des Schlussesvon auf n -4- 1) bekannte Beweisart wirklich beweiskräftig (5!), 60,80), und daß auch die Definition durch Jnduction (oder Reeursion)bestimmt uud widerspruchsfrei ist (126).

Diese Schrift kann Jeder verstehen, welcher Das besitzt, was manden gesunden Menschenverstand nennt; philosophische oder mathe-matische Schulkenntnisse sind dazu nicht im Geringsten erforderlich.Aber ich weiß sehr wohl, daß gar Mancher in den schattenhastenGestalten, die ich ihm vorführe, seine Zahlen, die ihn als treue und

Vergl. !>. 3 meiner Schrist: „Stetigkeit und irrationale Zahlen"(Braunschweig , 1872).

°"°) Dirichlet's Vorlesungen über Zahlentheorie, dritte Auslage, 1879,K, 163, Anmerkung auf S, 470.