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H. 14.

Anzahl der Elemente eines endlichen Systems.

159. Satz. Ist T ein unendliches System, so ist jedes derin 98 erklärten Zahlensysteme ^„ ähnlich abbildbar in I (d. h.ähnlich einem Theile von T), und umgekehrt.

Beweis. Wenn T unendlich ist, so giebt es nach 72 gewißeinen Theil ^ von welcher einfach unendlich, also nach 132 derZahlenreihe ähnlich ist, uud folglich ist nach 35 jedes Systemals Theil von ^ auch einem Theile von ^, also auch einemTheile von T ähnlich, w. z. b. w.

Der Beweis der Umkehrung — so einleuchtend dieselbe er-scheinen mag — ist umständlicher. Wenn jedes System F„ ähnlichabbildbar in X ist, so entspricht jeder Zahl n eine solche ähnlicheAbbildung «n von daß «,.(^,.)^T wird. Aus der Existenzeiner solchen, als gegeben anzusehenden Reihe von Abbildungen «»,über die aber weiter Nichts vorausgesetzt wird, leiten wir zunächstmit Hülfe des Satzes 126 die Existenz einer neuen Reihe von ebensolchen Abbildungen ^„ ab, welche die besondere Eigenschaft besitzt,daß jedesmal, wenn m ^ », also (nach 100) ^.^» ist, dieAbbildung des Theiles ^ in der Abbildung von F„ ent-halten ist (21), d. h. daß die Abbildungen nnd ^ für allein enthaltenen Zahlen gänzlich mit einander übereinstimmen,also auch stets

(m) — 'i',. l>)

wird. Um den genannten Satz diesem Ziele gemäß anzuwenden,verstehen wir unter K dasjenige System, dessen Elemente alle über-haupt möglichen ähnlichen Abbildungen aller Systeme ^„ in ^sind, und definiren mit Hülfe der gegebenen, ebenfalls in K ent-haltenen Elemente «„ auf folgende Weise eine Abbildung 6 von Qin sich selbst. Ist irgend ein Element von also z. B- eine