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123. Satz. Zufolge 121, 122 ist irgend ein Theil 2" derZahlenreihe endlich oder einfach unendlich, je nachdem es in ^eine größte Zahl giebt oder nicht giebt.

Z- 9.

Definition einer Abbildung der Zahlenreihe durchI nduction.

124. Wir bezeichnen auch im Folgenden mit kleinen lateinischenBuchstabeu Zahlen und behalten überhaupt alle Bezeichnungen dervorhergehenden §Z. 6 bis 8 bei, wahrend K ein beliebiges Systembedeutet, dessen Elemente nicht nothwendig in enthalten zu seinbrauchen.

125. Satz. Ist eine beliebige (ahnliche oder unähnliche) Ab-bildung 6 eines Systems K in sich selbst, und außerdem ein be-stimmtes Element a> in ^ gegeben, so entspricht jeder Zahl » eineund nur eine Abbildung ch« des zugehörigen, in S3 erklärten Zahlen-systems welche den Bedingungen*)

I. ^»(^«)^II. ^..(I)^a,

III. ^„ (t') — 6 ^„ (t), wenn 5 < n, genügt, wo das ZeichenH >/i„ die in 25 angegebene Bedeutung hat.

Beweis durch vollständige Jnduction (80). Denn

y. der Satz ist wahr für n — 1. In diesem Falle bestehtnämlich nach 102 das System aus der einzigen Zahl 1, unddie Abbildung ^ ist daher schon durch II vollständig und so dcfinirt,daß I erfüllt ist, während III gänzlich wegfüllt.

o. Ist der Satz wahr für eine Zahl n, fo zeigen wir, daß ermich für die folgende Zahl ^ — »' gilt, und zwar beginnen wir

*) Der Deutlichkeit wegen habe ich hier und im folgenden Satze 126 dieBedingung I besonders angcsnhrt, obwohl sie eigentlich schon eine Folge vonII und III ist.

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