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tion von daß ^ («) ^ v und v < (v), also (nach 93)^ (^) < ^ (v) ist; mithin sind nach 90 die Bilder ^ (it), ^ (v)verschieden, d. h.

A. die Abbildung ist ahnlich.Bedeutet ferner die kleinste Zahl (96) des Systems ?7, so istjede in l/ enthaltene Zahl A ^ «i, und da allgemein » < ^ (u),so ist (nach 95) < ^ («), also ist nach 90 verschieden von^ (»), d. h.

^. das Element ^ von ist nicht in ^ (k7) enthalten.Mithin ist -ch (t/) ein echter Theil von und folglich ist k7 nach64 ein unendliches System. Bezeichnen wir nuu in Ueberein-stimmung mit 44, wenn ^ irgend ein Theil von k7 ist, mit ^„( ^)die der Abbildung ^ entsprechende Kette von ^ so wollen wirendlich noch zeigen, daß

/Z. k7^^,(^)ist. In der That, da jede solche Kette ^-->(^) zufolge ihrer Defini-tion (44) ein Theil des dnrch ^ in sich selbst abgebildeten Systems

ist, so ist selbstverständlich (»,)-Z umgekehrt leuchtet aus45 zunächst ein, daß das in enthaltene Element ^ gewiß in^o(tti) enthalten ist; nehmen wir aber an, es gebe Elemente vonl/, die nicht in ^<> (u.) enthalten sind, so mnß es unter ihnennach 96 eine kleinste Zahl m geben, uud da dieselbe nach dem ebenGesagten verschieden von der kleinsten Zahl ^ des Systems t/ ist,so muß es nach 117 in auch eine Zahl v geben, welche nächstlleincr als ?v ist, woraus zugleich folgt, daß — (-v) ist; danun « < so muß v zufolge der Definition von gewiß in

(^) enthalten sein; hieraus folgt aber nach 55, daß auch ^ (v),also in i/'o (i»l) enthalten sein muß, und da dies im Widerspruchmit der Definition von ?v steht, so ist unsere obige Annahme un-zulässig; mithin ist t/^<> (ui) uud folglich auch ^7^^(^),wie behauptet war. Aus «, /Z, 7, S geht nun nach 71 hervor, daßt/ ein durch ^- geordnetes einfach unendliches System ist, w. z. b. w.