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74. Satz. Jede Zahl n ist nach 45 in ihrer Kette ent-halten, und nach 53 ist die Bedingung »Hmo gleichwertig mit»->^m->.

75. Satz. Zufolge 57 ist < ^ (»«)'

76. Satz. Zufolge 46 ist

77. Satz. Zufolge 58 ist n„ — M <).

78. Satz. Es ist^V^M(1.^), also ist jede von derGrundzahl 1 verschiedene Zahl Element von H", d. h. Bild einerZahl.

Der Beweis folgt aus 77 und 71.

79. Satz. ^V ist die einzige Zahlcnkctte, in welcher die Grund-zahl 1 enthalten ist.

Beweis. Denn wenn 1 Element einer Zahlcnkctte ^ ist, soist nach 47 die zugehörige Kette A^L?, folglich weil selbst-

verständlich ^ ist.

80. Satz der vollständigen Jnduction (Schluß von n auf »').Um zu beweisen, daß ein Satz für alle Zahlen n einer Kettegilt, genügt es zu zeigen,

y. daß er für n — m gilt, uud

6. daß aus der Gültigkeit des Satzes für eine Zahl m derKette Mg stets seine Gültigkeit auch für die folgende Zahl folgt.

Dies ergiebt sich unmittelbar aus dem allgemeineren Satze59 oder 60. Am häufigsten wird der Fall auftreten, wo m — 1,also M„ die volle Zahlenreihe ist.

§- 7.

Größere uud kleinere Zahlen.

81. Satz. Jede Zahl n ist verschicken von der auf sie folgen-den Zahl n'.

Beweis durch vollständige Jnduction (80). Denn