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Beweis. Es giebt nach L4 eine solche ähnliche Abbildung y?von K, daß y> (K) oder ein echter Theil von K wird; es giebtalso ein Element 1 in S, welches nicht in Z" entHallen ist. DieKette ^V— 1s, welche dieser Abbildung P des Systems S in sichselbst entspricht (44), ist ein einfach unendliches, durch y? geordnetesSystem; denn die charakteristischen Bedingungen «, /Z, /, ö in 71sind offenbar sämmtlich erfüllt.

73. Erklärung. Wenn man bei der Betrachtung eines einfachunendlichen, durch eine Abbildung y? geordneten Systems vonder besonderen Beschaffenheit der Elemente gänzlich absieht, lediglichihre Unterscheidbarkeit festhält und nur die Beziehungen auffaßt, indie sie durch die ordnende Abbildung y? zu einander gesetzt sind, soheißen diese Elemente natürliche Zahlen oder Ordinalzahlenoder auch schlechthin Zahlen, und das Grundelement 1 heißt dieGrundzahl der Zahlenreihe ^V. In Rücksicht auf diese Be-freiung der Elemente von jedem anderen Inhalt (Abstraction) kannman die Zahlen mit Recht eine sreie Schöpfung des menschlichenGeistes nennen. Die Bczichnngcn oder Gesetze, welche ganz alleinaus den Bedingungen «, /?, 7-, ö in 71 abgeleitet werden und des-halb in allen geordneten einfach unendlichen Systemen immer die-selben sind, wie auch die den einzelnen Elementen zufällig gegebenenNamen lauten mögen (vergl. 134), bilden den nächsten Gegenstandder Wissenschaft von den Zahlen oder der Arithmetik.Ans den allgemeinen Begriffen und Sätzen des Z. 4 über Ab-bildung eines Systems in sich selbst entnehmen wir zunächst un-mittelbar die folgeudeu Grundsätze, wobei uutcr a, b... n...stets Elemente von ^V, also Zahlen, unter Theile von

^, unter a', b'... m', F', die entsprechenden

Bilder verstanden werden, welche durch die ordnende Abbildung <perzeugt und stets wieder Elemente oder Theile von ^ sind; dasBild einer Zahl n wird anch die auf » folgende Zahl ge-nannt.