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118. Satz. In ^ ist die Zahl nächst größer als n, undn nächst kleiner als n'.

Der Beweis folgt aus 116, 117.

Z- 3-

Endliche und unendliche Theile der Zahlenreihe.

119. Satz. Jedes System in 98 ist endlich.Beweis durch vollständige Jnduction (80). Denn9. der Satz ist wahr für n — 1 zufolge 65, 102.

6. Ist endlich, so folgt aus 108 und 70, daß auchendlich ist, w. z. b. w.

120. Satz. Sind n verschiedene Zahlen, so sind ^-unühnliche Systeme.

Beweis. Der Symmetrie wegen dürfen wir nach 90 an-nehmen, es sei m < »; dann ist nach 106 echter Theil vonF», und da F„ nach 119 endlich ist, so können (nach 64) ^> undnicht ähnlich sein, w. z. b. w.

121. Satz. Jeder Theil I der Zahlenreihe ^V, welcher einegrößte Zahl besitzt (111), ist endlich.

Der Beweis folgt aus 113, 119, 68.

122. Satz. Jeder Theil der Zahlenreihe welcher keinegrößte Zahl besitzt, ist einfach unendlich (71).

Beweis. Ist irgend eine Zahl in so giebt es nach 117in !7 eine und nur eine nächst größere Zahl als die wir mit^ (n) bezeichnen und als Bild von n ansehen wollen. Die hier-durch vollständig bestimmte Abbildung ^ des Systems hat offen-bar die Eigenschaft

«. ^(c^n

d. h. t7 wird durch ^ in sich selbst abgebildet. Sind ferner vverschiedene Zahlen in ?I, so dürfen wir der Symmetrie wegen nach90 annehmen, es sei n < v; dann folgt nach 117 ans der Defini-