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(wegen der Ähnlichkeit von y?) mich und jedes Elementverschieden von K und folglich in ^ enthalten sein; mithin ist^ (2^5 77, und da 7/ endlich ist, so muß ^ (?') ^ ^, alsoM («', k7') ^ 77 sein. Hieraus folgt aber (nach 15)

M («', a, t/') ^ M (a, 7'),d. h. nach dem Obigen — Also ist auch in diesem Falleder erforderliche Beweis geführt.

§- 6.

Einfach unendliche Systeme. Reihe der natürlichen

Zahle n.

71. Erklärung. Ein System heißt einfach unendlich,wenn es eiue solche ähnliche Abbildung y? von ^ in sich selbstgiebt, daß als Kette (44) eines Elementes erscheint, welches nichtin >zp (^V) enthalten ist. Wir nennen dies Element, das wir imFolgenden durch das Symbol 1 bezeichnen wollen, das Grund-element von und sagen zugleich, das einfach unendliche System ^sei durch diese Abbildung y? geordnet. Behalten wir die früherenbequemen Bezeichnungen für die Bilder nnd Ketten bei (Z. 4), sobesteht mithin das Wesen eines einfach unendlichen Systems inder Existenz einer Abbildung y> von und eines Elementes 1, dieden folgenden Vcdingnngen «, /3, 7, S genügen:

«.

^. ^ ^ 1„.

7. Das Element 1 ist nicht in ^' enthalten.

ö. Die Abbildung P ist ähnlich.Offenbar folgt aus «, 7, 6, daß jedes einfach unendlicheSystem ^ wirklich ein unendliches System ist (64), weil es einemechten Theile ^V' seiner selbst ähnlich ist.

72. Satz. In jedem uueudlichen Systeme K ist ein einfachunendliches System als Theil enthalten.