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enthalten sein; mithin ist y? (S) echter Theil von S, und folglichist 6 unendlich, w. z. b. w.

69. Satz. Jedes System, welches einem Theile eines endlichenSystems ähnlich ist, ist selbst endlich.

Der Beweis folgt aus 07, 03.

70. Satz. Ist a ein Element von S, und ist der Inbegriffaller von a verschiedenen Elemente von S endlich, so ist auch Sendlich.

Beweis. Wir haben (nach 64) zu zeigen, daß, wenn y> irgendeine ähnliche Abbildung von S in sich selbst bedeutet, das BildP (S) oder 6' niemals ein echter Theil von K, sondern immer — Kist. Offenbar ist S ^ M (cr, und folglich nach 23, wenn dieBilder wieder durch Accente bezeichnet werden, S' — M («' 2"),nnd wegen der Ähnlichkeit der Abbildung w ist a' nicht inenthalten (26). Da ferner nach Annahme S'^S ist, so muß a'und ebenso jedes Element von entweder — a, oder Elementvon sein. Wenn daher — welchen Fall wir zunächst behandelnwollen — a nicht in ^ enthalten ist, so muß und folglich

^ — ^ sein, weil P eine ähnliche Abbildung, und weil ^ einendliches System ist; und da wie bemerkt, nicht in 2", d. h.nicht in ^ enthalten ist, so muß a' — K seiu, und folglich ist indiesem Falle wirklich S' — wie behauptet war. Im entgegen-gesetzten Falle, wenn « in 2" enthalten und folglich das Bildeines in ^ enthaltenen Elementes d ist, wollen wir mit ?I denInbegriff aller derjenigen Elemente n von ^ bezeichnen, welche vonb verschieden sind; dann ist ^ ^ M (ö, ?7), und (uach 15)« M (a, S, ?7), also ^ M « a. t/'). Wir bestimmennun eine neue Abbildung i/, von ^, indem wir ?/- (ö) — undallgemein ^(») —setzen, wodurch (nach 23) ^(2') —M(a', i?')wird. Offenbar ist ^ eine ähnliche Abbildung, weil yi eine solchewar, und weil a nicht in also auch a' nicht in enthalten ist.

Da ferner a und jedes Element « verschieden von ^ ist, so muß

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