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a, 5 verschiedene Elemente von K sind, auch ihre Bilder b' ver-schieden sind, daß also die Abbildung y> eine deutliche (ähnliche)ist (26). Mithin ist S unendlich, w. z. b. w.

07. Satz. Sind 2Z, S ähnliche Systeme, so ist 2? endlichoder unendlich, je nachdem K endlich oder unendlich ist.

Beweis. Ist S unendlich, also ähnlich einem echten Theileseiner selbst, so muß, wenn Ä und 6 ähnlich sind, nah 33ähnlich mit Ä und nach 35 zugleich ähnlich mit einem echtenTheile von A sein, welcher mithin nach 33 selbst ähnlich mitist; also ist Ä unendlich, w. z. b. w.

68. Satz. Jede^Systein welches einen nnendlichen Theil? besitzt, ist ebcnfal^unendlich; oder mit anderen Worten, jederTheil eines endlichen Systems ist endlich.

Beweis. Ist ? unendlich, giebt es also eine solche ähnlicheAbbilduug ^- von ?, daß ^- (?) ein echter Theil von ? wird, sokann man, wenn ? Theil von K ist, diese Abbildung ^ zu eiuerAbbildung P von A erweitern, indem man, wenn s irgend einElement von <? bedeutet, P (s) — -ch (5) oder <p (s) — s setzt, jenachdem s Element von ? ist oder nicht. Diese Abbildung y? isteine ähnliche; bedeuten nämlich a, ö verschiedene Elemente von Aso ist, wenn sie zugleich in ? enthalten sind, das Bild y, (a) — ^ («)verschieden von dem Bilde (5) — 7/) (ö), weil eine ähnlicheAbbildung ist; wenn ferner a in ?, ö nicht in ? enthalten ist, soist P (a) — ^ (a) verschieden von y? (b) — ö, weil ^ (a) in ?enthalten ist; wenn endlich weder « noch ö in ? enthalten ist, soist ebenfalls (a) — a verschieden von <x (ö) — ö, was zu zeigenwar. Da ferner ^ (?) Theil von ?, also nach 7 anch Theil vonS ist, so leuchtet ein, daß auch y> ist. Da endlich ^ (?)

echter Theil von ? ist, so giebt es in ?, also auch in A ein Ele-ment t, welches nicht in ^- (?) — y? (?) enthalten ist; da nundas Bild ?> (s) jedes nicht in ? enthaltenen Elementes s selbst — s,also auch von 5 verschieden ist, so kann ö überhaupt uicht in P (S)