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Zahl A selbst in F enthalten ist. Dies leuchtet unmittelbar ein,wenn A — 1 ist, weil dann (nach 102) ^ und folglich auch Iaus der einzigen Zahl 1 besteht. Ist aber A von 1 verschiedennnd folglich nach 78 das Bild / einer Zahl /. so ist (nach 108)F)M (^, s); wäre nun A nicht in Z enthalten, so müßte 2?^/sein, und es gäbe daher unter den Zahlen ^ eine Zahl /, welche(nach 91) < A ist, was dem Obigen widerspricht; mithin ist A inI enthalten, w. z. b. w.

115. Erklärung. Ist ? < in und m < so sagen wir, dieZahl m liege zwischen ? und (auch zwischen n und ?).

116. Satz. Es giebt keine Zahl, die zwischen n und n'

liegt.

Beweis. Denn sobald m < < also (nach 93) m ^ ist,so kann nach 90 nicht n < sein, w. z. b. w.

117. Satz. Ist -5 eine Zahl in 2', aber nicht die kleinste (96),so giebt es in ^ eine und nur eine nächst kleinere Zahl s, d. h.eine Zahl s von der Art, daß s < t, nnd daß es in keinezwischen s nnd t liegende Zahl giebt. Ebenso giebt es, wenn nichtetwa t die größte Zahl in 2" ist (111), in 2" immer eine und nureine nächst größere Zahl d. h. eine Zahl n von der Art, daßi < und daß es in ? keine zwischen t und n liegende Zahlgiebt. Zugleich ist 5 in ^ nächst größer als s und nächst ileinerals ^.

Beweis. Wenn 5 nicht die kleinste Zahl in ist, so sei Fdas System aller derjenigen Zahlen von I', welche < 5 sind; dannist (nach 98) und folglich (114) giebt es in F eine größte

Zahl s, welche offenbar die im Satze angegebenen Eigenschaftenbesitzt, und auch die einzige solche Zahl ist. Wenn ferner F nichtdie größte Zahl in ^ ist, so giebt es nach 96 unter allen denZahlen von ^, welche > t sind, gewiß eine kleinste welche, undzwar allein, die im Satze angegebenen Eigenschaften besitzt. Ebensolenchtet die Richtigkeit der Schlußbemerkung des Satzes ein.