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nach 99 in H.., aber nach 71 nicht in dem Bilde F,'. enthaltensein kann, so ist echter Theil von w. z> b. w.

110. Sah. 5«, ^ M (1. ^).

Beweis. Jede von 1 verschiedene Zahl des Systems ^ istnach 78 das Bild einer Zahl »», und diese muß ^ n, alsonach 98 in ^„ enthalten sein (weil sonst M > ^, also nach 94auch > m', mithin M' nach 98 nicht in Z,,. enthalten wäre);aus folgt aber m'^^«, und folglich ist gewiß

5»'5M (1, ^/.).

Da umgekehrt (nach 99) 1g^>, und (nach 109) 5.'.^5,,, sofolgt (nach 10) M (1, ^,',)^„. und hieraus ergiebt sich unser Satznach 5.

111. Erklärung. Wenn es in einem System Z von Zahlenein Element A giebt, welches größer als jede andere in ^ enthalteneZahl ist, so heißt <? die größte Zahl des Systems und offen-bar kann es nach 90 nur eine solche größte Zahl in A geben.Besteht ein System aus einer einzigen Zahl, so ist diese selbst diegrößte Zahl des Systems.

112. Satz. Zufolge 93 ist n die größte Zahl des Systems 5«.

113. Satz. Giebt es in F eine größte Zahl A, so ist FZ^.Beweis. Denn jede in ^? enthaltene Zahl ist <^ A, mithin

nach 98 in ^ enthalten, w. z. b. w.

114. Satz. Ist F Theil eines Systems ^, oder giebt es,was dasselbe sagt, eine Zahl n von der Art, daß alle in F ent-haltenen Zahlen <^ n sind, so besitzt A eine größte Zahl F.

Beweis. Das System aller Zahlen welche der BedingungIH^p genügen — und nach unserer Annahme giebt es solche —,ist eine Kette (37), weil nach 107, 7 anch F^^,, folgt, und istdaher (nach 87) — wo A die kleinste dieser Zahlen bedeutet(96, 97). Es ist daher auch folglich (98) ist jede in F

enthaltene Zahl ^.9, und wir haben nur noch zu zeigen, daß die