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Puncte aufgefaßt, im Geiste zusammengestellt werden, und man sagtdann, daß sie ein System S bilden; man nennt die Dingea, b, e... die Elemente des Systems S, sie sind enthaltenin A; umgekehrt besteht S aus diesen Elementen. Ein solchesSystem S (oder ein Jubegriff, eine Mannigfaltigkeit, eine Gesammt-heit) ist als Gegenstand unseres Denkens ebenfalls eiu Ding (1);es ist vollständig bestimmt, wenn von jedem Ding bestimmt ist, obes Element von S ist oder nichts. Das System S ist daher das-selbe wie das System ^, in Zeichen K — ^, wenn jedes Elementvon ,9 auch Element von ^, und jedes Element von ^ auch Elementvon K ist. Für die Gleichförmigkeit der Ausdrucksweise ist es vor-theilhaft, auch den besonderen Fall zuzulassen, daß ein System Saus einem einzigen (aus einem und nur einem) Element a besteht,d. h. daß das Ding « Element von aber jedes von cr ver-schiedene Ding kein. Element von ,5 ist. Dagegen wollen wir dasleere System, welches gar kein Element enthalt, aus gewissen Gründenhier ganz ausschließen, obwohl es für andere Untersuchungen bequemsein kann, ein solches zu erdichten.

3. Erklärung. Ein System ^4 heißt Theil eines Systems 6>wenn jedes Element von ^l auch Element von S ist. Da dieseBeziehung zwischen einem System ^. und einein System A imFolgenden immer wieder zur Sprache kommen wird, so wollen wirdieselbe zur Abkürzung durch das Zeichen ^.^6 ausdrücken. Das

Auf welche Weise diese Bestimmtheit zu Stande kommt, und ob wireinen Weg kennen, um hierüber zu entscheiden, ist für nllcs Folgende gänzlichgleichgültig; die zu entwickelnden allgemeinen Gesetze hängen davon gar nichtab, sie gelten unter allen Umständen. Ich erwähne dies ausdrücklich, weilHerr Kronecker vor Kurzem (im Band 99 des Journals für Mathematik,S. 334 bis 336) der freien Bcgriffsbildung in der Mathematik gewisse Be-schränkungen hat auferlegen wollen, die ich nicht als berechtigt anerkenne;näher hierauf einzugehen erscheint aber erst dann geboten, wenn der aus-gezeichnete Mathematiker seine Gründe für die Nothwendigkeit oder auch nurdie Zweckmäßigkeit dieser Beschränkungen veröffentlicht haben wird.