9

Abbildung ^y? die identische Abbildung von S ist. (21). Zugleichergeben sich folgende Ergänzungen zu Z. 2 unter Beibehaltung derdortigen Bezeichnungen.

27. Satz5). Ist ^'ZF', so ist ^ZF.

Beweis. Denn wenn a ein Element von so ist a' einElement von ^4', also auch von Z', mithin — ö', wo d ein Elementvon da aber aus — b' immer a — b folgt, so ist jedesElement a von ^l. auch Eleinent von w. z. b. w.

28. Satz. Ist ^ so ist ^l. ^.Der Beweis folgt aus 27, 4, 5.

29. Satz**). Ist S ^ E F, <?...), so ist

S'^ G(^', (?'...).

Beweis. Jedes Element von G (^', <?'...) ist jedenfallsin enthalten, also das Bild A' eines in S enthaltenen Elementes </;da aber A' gemeinsames Element von <?'... ist, so muß A

nach 27 gemeinsames Element von ^4, also auch Element

von 6 sein; mithin ist jedes Element von G(^l.',F', <?'...) Bildeines Elementes A von <?, also Element von d. h. es istG(^', L"...))S', und hieraus folgt unser Satz mit Rück-sicht auf 24, 5.

30. Satz. Die identische Abbildung eines Systems ist immereine ähnliche Abbildung.

31. Satz. Ist y> eine ähnliche Abbildung von 9, und ^ eineähnliche Abbildung von y> (L), so ist die aus P und ^ zusammen-gesetzte Abbildung i/)y> von Z ebenfalls eine ähnliche, und die zu-gehörige umgekehrte Abbildung ist —

Beweis. Denn verschiedenen Elementen a, b von K entsprechenverschiedene Bilder — P (a), ö' — y> (S), und diesen wiederverschiedene Bilder ^ (a') — i/-y? (a), ^ (ö') — <x (b), also ist

Vcrgl. Satz 22 »*) Vergl. Satz 24.